Le théorème de Pythagore en quatrième se résout pas à pas

Le théorème de Pythagore permet de calculer une longueur dans un triangle rectangle : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. En quatrième, on l’applique après avoir identifié l’angle droit, puis on vérifie que l’hypoténuse est bien le côté le plus long.

Un triangle porte un angle droit, deux longueurs sont connues et le résultat attendu semble évident : pourtant, une hypothèse oubliée suffit à rendre le calcul faux. En quatrième, le théorème de Pythagore demande surtout de suivre un ordre fiable : repérer l’hypoténuse, écrire l’égalité adaptée, effectuer les calculs puis vérifier la cohérence de la longueur trouvée. Cette méthode aide autant à compléter une figure qu’à rédiger une démonstration courte et lisible.

Reconnaître la situation où utiliser Pythagore

Le théorème de Pythagore s’utilise uniquement dans un triangle rectangle. Il faut donc connaître quelques prérequis : reconnaître l’angle droit, calculer un carré et utiliser une racine carrée. L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit : c’est toujours le plus long côté du triangle. Dans un triangle rectangle ABC en A, l’hypoténuse est [BC]. En revanche, le théorème ne donne aucune information sur les longueurs d’un triangle quelconque.

À retenir : dans un triangle rectangle, carré de l’hypoténuse = somme des carrés des deux autres côtés. Réflexe utile : repérer d’abord l’angle droit, puis le côté placé en face.

Appliquer le théorème pour calculer une longueur

La formule de Pythagore permet de trouver une longueur inconnue lorsque le triangle rectangle est déjà connu.

1. Vérifiez que le triangle est rectangle et repérez le sommet de l’angle droit.
2. Nommez l’hypoténuse : elle est opposée à cet angle.
3. Écrivez l’égalité avec les lettres du dessin.
4. Remplacez les lettres par les mesures connues, en gardant les parenthèses si nécessaire.
5. Isolez la longueur recherchée : additionnez pour calculer l’hypoténuse ; réorganisez l’égalité puis soustrayez pour un autre côté.
6. Calculez, prenez la racine carrée si besoin et indiquez l’unité finale.

Les carrés portent sur les longueurs : cm² apparaît pendant le calcul. La réponse finale est une longueur, donc en cm, m ou autre unité adaptée.

Exemple corrigé : calculer l’hypoténuse pas à pas

Hypothèses

Le triangle MNP est rectangle en M. On connaît MN = 9 cm et MP = 12 cm. Le côté opposé à l’angle droit en M est [NP] : c’est donc l’hypoténuse.

Calculs

D’après le théorème de Pythagore, NP² = MN² + MP².

Conclusion

La longueur NP est égale à 15 cm. Le résultat est cohérent : 15 cm est supérieur à 9 cm et à 12 cm, et 15² est bien égal à la somme de 9² et de 12².

Utiliser la réciproque pour savoir si un triangle est rectangle

L’application directe et la réciproque ne répondent pas à la même question. Avec l’application directe, on sait déjà que le triangle est rectangle et l’on calcule une longueur. Avec la réciproque du théorème de Pythagore, on connaît les trois longueurs et l’on cherche à démontrer que le triangle est rectangle.

Supposons DE = 5 cm, EF = 12 cm et DF = 13 cm. [DF] est le plus grand côté. Les deux résultats sont égaux. Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en E, sommet opposé à [DF]. Si l’égalité échoue, on ne peut pas conclure que le triangle est rectangle.

Vérifier son calcul et s’entraîner sans erreurs fréquentes

Une vérification rapide évite de nombreux oublis et rend la rédaction plus fiable.

• Le triangle est-il bien rectangle, ou l’égalité est-elle testée avec la réciproque ?
• L’hypoténuse choisie est-elle le plus grand côté ?
• Chaque longueur a-t-elle bien été mise au carré ?
• La soustraction est-elle faite dans le bon sens ?
• La réponse comporte-t-elle une unité et une phrase de conclusion ?

Confondre l’hypoténuse, oublier un carré ou conclure sans phrase arrive souvent : ce sont des points à relire calmement, pas des échecs. Entraînez-vous : dans RST rectangle en R, avec ST = 13 cm et RT = 5 cm, calculez RS. Puis vérifiez si un triangle de côtés 7 cm, 24 cm et 25 cm est rectangle. Pour approfondir, consultez les ressources internes sur les racines carrées, les triangles rectangles et Pythagore en troisième.

Pour chaque exercice, commencez par nommer le triangle et localiser son angle droit. Identifiez ensuite l’hypoténuse avant d’écrire l’égalité de Pythagore, sans inverser les côtés. Relisez enfin les unités, les carrés et la vraisemblance du résultat : une hypoténuse ne peut pas être plus courte qu’un autre côté du triangle.

Comment calculer avec le théorème de Pythagore ?

Vérifiez d’abord que le triangle est rectangle. Repérez ensuite l’hypoténuse, écrivez l’égalité avec les lettres du triangle, remplacez-les par les mesures et calculez. Pour trouver l’hypoténuse, additionnez les carrés ; pour un autre côté, effectuez une soustraction avant la racine carrée.

Comment trouver et écrire l’égalité de Pythagore ?

Commencez par le côté opposé à l’angle droit : son carré est seul à gauche de l’égalité. Ajoutez à droite les carrés des deux autres côtés. Dans ABC rectangle en A, [BC] est l’hypoténuse, donc l’égalité correcte est BC² = AB² + AC².

Quand utiliser la réciproque du théorème de Pythagore ?

Utilisez la réciproque lorsque les trois longueurs d’un triangle sont connues, mais que l’on ne sait pas s’il est rectangle. Prenez le plus grand côté, comparez son carré à la somme des carrés des deux autres longueurs, puis concluez seulement si les résultats sont égaux.

Comment rédiger une application du théorème de Pythagore ?

Indiquez que le triangle est rectangle et précisez le sommet de l’angle droit. Nommez l’hypoténuse, écrivez l’égalité littérale, remplacez les longueurs, détaillez le calcul et terminez par une phrase. La conclusion doit donner la longueur cherchée avec son unité.

Comment rédiger la réciproque du théorème de Pythagore ?

Annoncez les trois longueurs et identifiez le plus grand côté. Calculez son carré, puis la somme des carrés des deux autres côtés. Si les résultats sont identiques, citez la réciproque et concluez que le triangle est rectangle au sommet opposé au plus grand côté.

Quand utilise-t-on le théorème de Pythagore ?

Le théorème de Pythagore s’emploie lorsqu’un triangle est rectangle et qu’une de ses longueurs doit être calculée. Il ne faut pas l’utiliser simplement parce qu’un dessin ressemble à un triangle rectangle : cette information doit être donnée, codée sur la figure ou démontrée auparavant.

En quelle classe étudie-t-on le théorème de Pythagore ?

Le théorème de Pythagore est un apprentissage central de quatrième. Il sert à calculer des longueurs dans les triangles rectangles et prépare des exercices plus variés par la suite. L’essentiel est de maîtriser le repérage de l’hypoténuse, l’égalité et la rédaction du raisonnement.

Actualisé le 25/07/2026