Les nombres complexes en terminale se maîtrisent par étapes

Les nombres complexes prolongent les nombres réels grâce à i, tel que i² = −1. En terminale, ils permettent de calculer sous la forme a + ib, de résoudre certaines équations et de représenter des points du plan à partir de leurs affixes.

Face à l’équation z² + 4 = 0, aucun nombre réel ne convient, alors que deux solutions apparaissent immédiatement avec i. Ce décalage explique l’intérêt des nombres complexes en terminale. Pour les manipuler avec rigueur, il faut distinguer leur écriture algébrique, repérer la forme adaptée à chaque calcul et contrôler le résultat avec une calculatrice. Ce cours construit ces réflexes progressivement, depuis les prérequis de calcul jusqu’à l’interprétation géométrique d’un affixe dans le plan.

Comprendre les nombres complexes et leur forme algébrique

Avant de commencer, maîtrisez le calcul littéral, les puissances, les identités remarquables et les équations du second degré. L’ensemble ℂ prolonge les réels : il contient l’unité imaginaire i, définie par i² = −1. D’après BibM@th, tout nombre complexe s’écrit sous la forme algébrique z = a + ib, avec a et b réels. Un réel r est donc aussi le complexe r + 0i. Deux complexes sont égaux si leurs parties correspondantes sont égales : a + ib = c + id équivaut à a = c et b = d.

Élément	Pour z = a + ib	Exemple pour z = −3 + 5i
Partie réelle	Re(z) = a	−3
Partie imaginaire	Im(z) = b	5
Terme imaginaire	ib	5i

Attention : Im(z) est un réel, tandis que ib est un complexe. Le mot « imaginaire » ne rend pas ces nombres moins concrets : ils suivent des règles de calcul rigoureuses et permettent notamment de résoudre des équations impossibles dans ℝ.

Calculer avec les complexes : conjugué, module et quotient

L’addition, la soustraction et le produit suivent les règles usuelles de développement, puis chaque i² est remplacé par −1. Par exemple, (1 + 2i)(3 − i) = 3 − i + 6i − 2i² = 5 + 5i. Le conjugué de z = a + ib est z̄ = a − ib. Son intérêt majeur est que z z̄ = a² + b² = |z|². Le module |z| = √(a² + b²) est un réel positif ou nul ; ce n’est pas un affixe.

Pour diviser par un complexe non nul, appliquez ce protocole :

1. Repérez le dénominateur et son conjugué.
2. Multipliez le numérateur et le dénominateur par ce conjugué.
3. Développez soigneusement et remplacez i² par −1.
4. Réduisez afin d’obtenir une écriture a + ib.

Cette méthode transforme le dénominateur en un réel. Vérifiez toujours ce point : un quotient final ne doit plus contenir i au dénominateur. Vérifiez aussi qu’un module annoncé négatif signale forcément une erreur.

Résoudre une équation dans l’ensemble des complexes

Une équation qui n’a pas de solution réelle peut avoir des solutions dans ℂ, car i donne un sens à la racine carrée d’un réel négatif. Pour az² + bz + c = 0, avec des coefficients réels, calculez Δ = b² − 4ac. Si Δ est positif, l’équation possède deux racines réelles ; s’il est nul, une racine réelle double ; s’il est négatif, √Δ s’écrit i√(−Δ). La formule des racines reste donc valable, sans traiter ce cas comme une exception.

Pour un polynôme P, si P(a) = 0, alors P(z) est divisible par z − a : cette factorisation peut simplifier une recherche de racines. Avec des coefficients réels uniquement, une racine non réelle a + ib entraîne aussi la racine conjuguée a − ib. Ne transposez pas automatiquement cette propriété à un polynôme dont les coefficients sont complexes. Dans l’exemple final, la solution sera contrôlée directement par substitution dans l’équation.

Représenter un complexe dans le plan : affixe, argument et formes trigonométrique et exponentielle

Dans le plan complexe, l’axe horizontal représente les parties réelles et l’axe vertical les parties imaginaires. Le point M de coordonnées (a ; b) a pour affixe z = a + ib, tandis que l’origine O a pour affixe 0. Le module |z| est la distance OM : cette lecture géométrique aide à contrôler un calcul.

Si z n’est pas nul, un argument de z est un angle θ orienté entre l’axe réel positif et le vecteur OM. Il est défini à 2π près ; le nombre nul n’a pas d’argument. On peut écrire z = r(cos θ + i sin θ), puis z = re^(iθ), avec r = |z|. La forme algébrique reste la plus pratique pour additionner ou soustraire. Les formes trigonométrique et exponentielle sont particulièrement efficaces pour multiplier, diviser ou élever à une puissance.

Pour vérifier une représentation, observez les signes : une partie réelle négative place M à gauche de l’origine, une partie imaginaire positive le place au-dessus. L’angle choisi doit correspondre à cette position.

Méthode complète : un exemple original corrigé et vérifié

Hypothèses. Soient z = 2 − 3i et w = 1 + 2i. Calculons zw, déterminons z/w, puis résolvons u² − 4u + 13 = 0.

Calculs. Pour le produit : zw = (2 − 3i)(1 + 2i) = 2 + 4i − 3i − 6i² = 8 + i. Pour le quotient, on utilise le conjugué 1 − 2i : z/w = (2 − 3i)(1 − 2i) / ((1 + 2i)(1 − 2i)) = (−4 − 7i)/5 = −4/5 − 7/5i. Enfin, Δ = (−4)² − 4 × 13 = −36, donc u = 2 − 3i ou u = 2 + 3i.

Conclusion et vérifications. Le développement confirme zw = 8 + i. Pour le quotient, w(−4/5 − 7/5i) redonne bien z. En substituant 2 − 3i dans u² − 4u + 13, on obtient 0. En révision, identifiez d’abord la forme utile, écrivez la formule, calculez ligne à ligne, puis choisissez un contrôle adapté : substitution, conjugué ou interprétation géométrique.

Retenez une démarche stable : écrire chaque complexe sous une forme lisible, appliquer les règles de calcul, puis vérifier par identification des parties réelle et imaginaire ou par une lecture dans le plan. Reprenez les calculs en détaillant chaque ligne, notamment lorsque i² apparaît. Cette habitude limite les erreurs de signe et rend les équations complexes plus accessibles.

Vos questions, nos réponses

Comment reconnaître la partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe ?

Écrivez d’abord le nombre sous la forme a + ib. La partie réelle est le coefficient a et la partie imaginaire est le coefficient b. Ainsi, pour −3 + 5i, Re(z) = −3 et Im(z) = 5. Le terme imaginaire complet est 5i, pas Im(z).

Pourquoi utilise-t-on le conjugué pour diviser deux nombres complexes ?

Le conjugué transforme le produit du dénominateur par son conjugué en un réel : (a + ib)(a − ib) = a² + b². Il élimine donc i du dénominateur. Cette opération permet ensuite de réduire le quotient proprement sous la forme a + ib.

Comment résoudre une équation du second degré lorsque le discriminant est négatif ?

Appliquez la formule habituelle des racines dans ℂ. Si Δ est négatif, remplacez √Δ par i√(−Δ). Par exemple, si Δ = −36, alors √Δ = 6i. Les deux racines obtenues ont alors la même partie réelle et des parties imaginaires opposées.

Quelle forme choisir entre la forme algébrique, trigonométrique et exponentielle ?

Choisissez la forme algébrique pour additionner, soustraire, développer ou résoudre une équation. Préférez la forme trigonométrique ou exponentielle pour les produits, les quotients et les puissances, car modules et arguments se combinent directement. Revenez à la forme algébrique pour lire les coordonnées d’un point.

Dernière révision : 25/07/2026