Fractions irréductibles : comment rendre une fraction irréductible
Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n’ont pas d’autre diviseur commun que 1. Pour la rendre irréductible, divisez les deux termes par leur PGCD, ou simplifiez pas à pas avec les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10.
Par Gaspard Nivelle
Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n’ont pas d’autre diviseur commun que 1. Pour la rendre irréductible, divisez les deux termes par leur PGCD, ou simplifiez pas à pas avec les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10.
Simplifier une fraction est un réflexe utile pour écrire un résultat proprement et comparer des nombres facilement. Mais jusqu’où faut-il simplifier ? La réponse tient en un mot : irréductible. Cet article définit cette notion, puis présente deux méthodes complémentaires : les critères de divisibilité pour les petits nombres, et le PGCD pour les nombres plus grands. Des exemples calculés pas à pas et cinq exercices corrigés permettent de s’entraîner directement sur la page, sans compte ni téléchargement.
Une fraction irréductible ne peut plus être simplifiée
Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n’ont pas d’autre diviseur commun que 1. Ainsi, 2/3 est irréductible, car 2 et 3 n’ont que 1 en commun. En revanche, 4/6 ne l’est pas, puisque 2 divise à la fois 4 et 6.
Rendre une fraction irréductible consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre, jusqu’à ce qu’il ne reste plus aucun diviseur commun autre que 1. La valeur ne change pas, seule l’écriture est plus simple. Pour replacer cette notion dans l’ensemble des calculs sur les fractions, l’article sur les fractions au collège, méthodes et vérifications détaille les opérations qui s’appuient sur cette écriture réduite.
Méthode 1 : simplifier pas à pas avec les critères de divisibilité
Cette méthode consiste à repérer un diviseur commun évident, à diviser, puis à recommencer. Cinq critères suffisent pour la plupart des cas :
- un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair ;
- il est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
- il est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5 ;
- il est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 ;
- il est divisible par 10 s’il se termine par 0.
Exemple avec 84/126. Les deux nombres sont pairs : 84 ÷ 2 = 42 et 126 ÷ 2 = 63, donc 84/126 = 42/63. Ensuite, 4 + 2 = 6 et 6 + 3 = 9 sont divisibles par 3 : 42 ÷ 3 = 14 et 63 ÷ 3 = 21, donc 42/63 = 14/21. Enfin, 14 = 2 × 7 et 21 = 3 × 7 : en divisant par 7, on obtient 2/3. Aucun nombre premier ne divise à la fois 2 et 3 : la fraction 2/3 est donc irréductible.
Méthode 2 : diviser par le PGCD
Le PGCD de deux nombres est leur plus grand commun diviseur. Si vous divisez le numérateur et le dénominateur par ce nombre, la fraction obtenue est irréductible en une seule étape. Deux techniques permettent de le trouver.
L’algorithme d’Euclide enchaîne des divisions euclidiennes : le dernier reste non nul est le PGCD. Pour 84/126 : 126 = 1 × 84 + 42, puis 84 = 2 × 42 + 0. Le dernier reste non nul est 42, donc PGCD(84 ; 126) = 42. On calcule alors 84 ÷ 42 = 2 et 126 ÷ 42 = 3, d’où 84/126 = 2/3.
La décomposition en produit de facteurs premiers repose sur les facteurs communs. Pour 48/180 : 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 et 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5. Les facteurs communs sont 2, 2 et 3, donc PGCD = 2 × 2 × 3 = 12. Ensuite, 48 ÷ 12 = 4 et 180 ÷ 12 = 15, d’où 48/180 = 4/15.
Exemple résolu et cinq exercices corrigés
Exemple. Rendre irréductible la fraction 360/525.
Hypothèses. Le numérateur 360 et le dénominateur 525 sont des entiers positifs. On les divise tous les deux par leur PGCD, calculé avec l’algorithme d’Euclide, pour obtenir directement la forme irréductible.
Calculs. 525 = 1 × 360 + 165 ; 360 = 2 × 165 + 30 ; 165 = 5 × 30 + 15 ; 30 = 2 × 15 + 0. Le dernier reste non nul est 15, donc PGCD(360 ; 525) = 15. Ensuite, 360 ÷ 15 = 24 et 525 ÷ 15 = 35.
Conclusion. 360/525 = 24/35. Vérification : 24 = 2 × 2 × 2 × 3 et 35 = 5 × 7 n’ont aucun facteur commun, la fraction est irréductible.
À vous de jouer. Les erreurs classiques, comme diviser un seul des deux termes, sont analysées dans l’article sur les erreurs fréquentes avec les fractions et comment les corriger. Essayez chaque exercice avant de lire la correction.
- Rendre irréductible 18/24. Correction : les deux nombres sont pairs, donc 18/24 = 9/12. Puis 9 et 12 sont divisibles par 3 : 9/12 = 3/4.
- Rendre irréductible 150/210. Correction : on divise par 10 : 15/21. Puis 15 ÷ 3 = 5 et 21 ÷ 3 = 7. Le résultat est 5/7.
- Rendre irréductible 91/143. Correction : 143 = 1 × 91 + 52 ; 91 = 1 × 52 + 39 ; 52 = 1 × 39 + 13 ; 39 = 3 × 13 + 0. Le PGCD est 13, donc le résultat est 7/11.
- Rendre irréductible 72/90. Correction : le PGCD est 2 × 3 × 3 = 18. Comme 72 ÷ 18 = 4 et 90 ÷ 18 = 5, le résultat est 4/5.
- La fraction 35/48 est-elle irréductible ? Correction : 35 = 5 × 7 et 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 n’ont aucun facteur premier commun. Oui, elle est déjà irréductible.
Questions et réponses
Comment savoir si une fraction est irréductible ?
Cherchez un diviseur commun premier au numérateur et au dénominateur : 2, 3, 5, 7, puis les suivants. Si aucun ne les divise tous les deux, la fraction est irréductible. Le calcul du PGCD donne la même réponse : il vaut alors 1.
Peut-on simplifier en plusieurs étapes plutôt qu’avec le PGCD ?
Oui, le résultat final est le même, à condition de continuer jusqu’à ce qu’aucun diviseur commun ne reste. Avec le PGCD, une seule division suffit. Les simplifications successives sont souvent plus rapides à écrire avec de petits nombres.
Une fraction dont le numérateur est premier est-elle toujours irréductible ?
Non. Si le numérateur est premier, la fraction n’est irréductible que si ce nombre ne divise pas le dénominateur. Par exemple, 7/14 se simplifie en 1/2, alors que 7/15 est irréductible.
Que vaut le PGCD des deux termes d’une fraction irréductible ?
Il vaut 1. Deux nombres dont le seul diviseur commun est 1 sont dits premiers entre eux, comme 8 et 15, sans être forcément premiers eux-mêmes. Calculer le PGCD permet donc aussi de tester une fraction.
Faut-il rendre irréductible le résultat d’un calcul avec des fractions ?
C’est une bonne habitude, car un résultat final s’écrit le plus simplement possible. Cela facilite aussi la comparaison avec une autre fraction et évite de laisser une fraction qui pourrait encore être simplifiée.
Pour vous entraîner, reprenez les cinq exercices en cachant les corrections, puis inventez d’autres fractions à partir de nombres de deux ou trois chiffres. Contrôlez chaque résultat en cherchant un dernier diviseur commun. En cas de doute sur une simplification, l’article sur les erreurs fréquentes avec les fractions et comment les corriger propose des cas à comparer à vos réponses.
Page actualisée le 11 novembre 2026
