Multiplication de fractions : règle, simplification et exercices corrigés

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : a/b × c/d = (a × c)/(b × d), avec b et d non nuls. Aucun dénominateur commun n’est nécessaire, et simplifier avant de calculer évite de manipuler de gros nombres.

La multiplication de fractions est l’une des opérations les plus simples à poser, parce qu’elle ne demande ni dénominateur commun ni transformation préalable. Cette page présente la règle, le cas particulier d’un entier multiplié par une fraction, puis la simplification avant calcul, qui rend les nombres plus petits et limite les erreurs. Elle traite ensuite la fraction d’une quantité et les signes avec des nombres relatifs. Un exemple résolu et six exercices corrigés, avec des résultats sous forme irréductible, permettent de s’entraîner directement sur la page.

La règle de la multiplication de fractions

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : a/b × c/d = (a × c)/(b × d), avec b et d non nuls. Il n’y a aucun dénominateur commun à chercher, contrairement à l’addition. Par exemple, 2/5 × 3/7 = (2 × 3)/(5 × 7) = 6/35.

Un entier peut s’écrire comme une fraction de dénominateur 1 : n = n/1. On obtient donc n × a/b = (n × a)/b. L’erreur fréquente consiste à multiplier aussi le dénominateur par n. Ainsi, 4 × 2/5 = 8/5 et non 8/20. Pour vérifier, 8/5 = 1,6 et 4 × 0,4 = 1,6.

Cette confusion fait partie de celles analysées dans l’article sur les erreurs fréquentes avec les fractions et comment les corriger, utile pour apprendre à les repérer. Pour une vue d’ensemble de la notion, l’article sur les fractions au collège propose d’autres méthodes et vérifications.

Simplifier avant de multiplier

Simplifier avant de calculer garde des nombres petits et évite une simplification finale souvent longue. La méthode consiste à décomposer chaque numérateur et chaque dénominateur en produit de facteurs, puis à barrer un facteur présent en haut et en bas. On peut barrer un facteur du numérateur d’une fraction avec un facteur du dénominateur de l’autre.

Exemple : 2/3 × 9/4 = (2 × 9)/(3 × 4) = (2 × 3 × 3)/(3 × 2 × 2). On barre un 3 et un 2, il reste 3/2. Sans simplification préalable, on trouve 18/12, qui se simplifie en 3/2 en divisant par 6 : le résultat est identique, mais le chemin est plus lourd.

Ces simplifications reposent sur les fractions égales, travaillées dans l’article les fractions en 5e pas à pas.

Fraction d’une quantité et signes

Dans une expression comme « les 3/4 de 20 », le mot « de » signifie multiplier : 3/4 de 20 = 3/4 × 20 = 60/4 = 15. On peut aussi diviser 20 par 4 pour obtenir 5, puis multiplier par 3, ce qui donne encore 15.

Avec des nombres relatifs, la règle des signes s’applique au produit : deux facteurs de même signe donnent un résultat positif, deux facteurs de signes différents un résultat négatif. Ainsi, (-2/5) × 3/7 = -6/35. De même, (-3/4) × (-2/9) = 6/36 = 1/6, puisque deux signes négatifs donnent un résultat positif.

Exemple résolu et exercices corrigés

Énoncé. Un récipient contient 3/4 L de jus. Un élève en utilise les 2/9. Quelle quantité de jus a-t-il utilisée ?

Hypothèses. Le récipient contient 3/4 L et la part utilisée est 2/9 de ce contenu.

Calculs. 2/9 × 3/4 = (2 × 3)/(9 × 4) = (2 × 3)/(3 × 3 × 2 × 2) = 1/6.

Conclusion. L’élève a utilisé 1/6 L de jus.

À vous maintenant : ces six exercices conviennent à des élèves de collège. Donnez chaque résultat sous forme irréductible.

1. Calculer 3/5 × 2/7. Correction : (3 × 2)/(5 × 7) = 6/35, déjà irréductible.
2. Calculer 6 × 5/8. Correction : (6 × 5)/8 = 30/8 = 15/4.
3. Calculer 5/12 × 8/15. Correction : (5 × 8)/(12 × 15) = (5 × 2 × 2 × 2)/(2 × 2 × 3 × 3 × 5) = 2/9.
4. Calculer les 2/3 de 45. Correction : 2/3 × 45 = 90/3 = 30.
5. Calculer (-4/9) × 3/10. Correction : le résultat est négatif, -(4 × 3)/(9 × 10) = -(2 × 2 × 3)/(3 × 3 × 2 × 5) = -2/15.
6. Calculer (-7/6) × (-4/21). Correction : le résultat est positif, (7 × 4)/(6 × 21) = (7 × 2 × 2)/(2 × 3 × 3 × 7) = 2/9.

Une dernière remarque : diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse, ce qui ramène toute division de fractions à la règle vue ici.

Questions et réponses

Faut-il un dénominateur commun pour multiplier des fractions ?

Non. Le dénominateur commun sert pour l’addition et la soustraction. Pour la multiplication, on multiplie directement les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, par exemple 2/5 × 3/7 = 6/35.

Comment multiplier un entier par une fraction ?

On multiplie l’entier par le numérateur et on garde le dénominateur : 5 × 2/3 = 10/3. L’entier peut aussi s’écrire 5/1, ce qui redonne la règle générale (5 × 2)/(1 × 3). Le dénominateur ne change pas.

Comment savoir si le résultat est irréductible ?

Cherchez un diviseur commun au numérateur et au dénominateur autre que 1. S’il n’en existe aucun, la fraction est irréductible. Simplifier avant de multiplier, en barrant les facteurs communs, aide à obtenir directement ce résultat.

Que signifie « de » dans « les 2/3 de 45 » ?

Le mot « de » indique une multiplication : les 2/3 de 45 valent 2/3 × 45 = 90/3 = 30. On peut aussi diviser 45 par 3 pour obtenir 15, puis multiplier par 2 pour obtenir 30.

Quel est le signe du produit de deux fractions négatives ?

Il est positif : deux facteurs de même signe donnent un produit positif, comme (-1/2) × (-3/5) = 3/10. Si un seul des facteurs est négatif, le produit est négatif, par exemple (-2/5) × 3/7 = -6/35.

Pour vous entraîner, reprenez les six exercices ci-dessus en cachant les corrections, puis refaites-les avec vos propres fractions : décomposez en facteurs, barrez, calculez et vérifiez la forme irréductible. Pour travailler d’autres calculs, consultez les fractions en 5e pas à pas, qui propose des exemples complémentaires.

Page actualisée le 5 novembre 2026