Les suites en Terminale se maîtrisent terme après terme

Les suites numériques en Terminale sont des fonctions définies sur des entiers naturels, dont les valeurs u_n forment des termes ordonnés. Leur étude consiste à exploiter une formule explicite ou une relation de récurrence, puis à déterminer leur nature, leurs variations et, lorsque nécessaire, leur limite.

Entre u_0 et u_10, une simple erreur d’indice peut changer tous les calculs d’un exercice. Les suites demandent donc une lecture attentive de leur définition avant toute manipulation. Ce cours progressif rassemble les repères utiles pour passer d’un énoncé à une méthode fiable : identifier le rang initial, calculer des termes, reconnaître une suite arithmétique ou géométrique, étudier son évolution et contrôler la cohérence du résultat obtenu.

Comprendre les suites numériques en Terminale

Les suites numériques servent à décrire une évolution discrète : on calcule une valeur, puis la suivante, terme après terme. Elles permettent par exemple de modéliser un capital, une population ou une quantité qui change à chaque période. Avant ce cours de Terminale, il faut maîtriser le calcul littéral, les puissances, les fractions et les fonctions affines ou exponentielles. Une suite est une fonction dont les entrées sont des entiers naturels. Son terme de rang n se note souvent u_n : n est l’indice, non la valeur du terme. Il faut aussi repérer le rang initial, qui peut être 0 ou 1. Une définition explicite donne directement u_n en fonction de n ; une définition par récurrence relie un terme au précédent. Une suite numérique n’est donc pas une simple « suite logique » : elle doit être définie par une règle mathématique précise.

Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique

Les deux modèles les plus courants sont les suites arithmétiques et géométriques. Une suite arithmétique ajoute toujours la même raison r : u_n+1 = u_n + r. Si le premier terme est u₀, alors u_n = u₀ + nr ; avec un départ au rang 1, on adapte la formule en utilisant u_n = u₁ + (n − 1)r. Une suite géométrique multiplie toujours par la même raison q : u_n+1 = qu_n, puis u_n = u₀qⁿ.

Pour reconnaître sa nature, annoncez d’abord les hypothèses : la suite est définie pour les rangs étudiés. Calculez ensuite u_n+1 − u_n : si cette différence est constante, concluez qu’elle est arithmétique. Pour une suite géométrique, étudiez u_n+1/u_n, seulement lorsque les termes divisés sont non nuls. Un quotient constant prouve le caractère géométrique. Attention : la présence d’une puissance de n dans une formule explicite ne suffit pas à conclure ; le calcul de contrôle reste indispensable.

Calculer les termes d’une suite : méthode pas à pas

Le calcul dépend de la définition fournie. Une formule explicite demande un remplacement direct de n ; une suite définie par récurrence impose de partir du terme initial et de respecter chaque rang intermédiaire.

1. Repérez le rang de départ et le rang demandé.
2. Identifiez la définition : explicite ou par récurrence.
3. Effectuez les calculs sans sauter d’indice.
4. Contrôlez le résultat avec la relation donnée et des arrondis cohérents.

Exemple. Hypothèses : u₀ = 5 et, pour tout rang n, u_n+1 = 0,8u_n + 3. Calculs : u₁ = 0,8 × 5 + 3 = 7 ; u₂ = 0,8 × 7 + 3 = 8,6 ; u₃ = 0,8 × 8,6 + 3 = 9,88. Conclusion : les premiers termes sont 5,7,8,6 et 9,88. Cette suite n’est ni arithmétique, car les ajouts changent, ni géométrique, car les quotients changent aussi. Une calculatrice peut générer des termes, mais elle ne remplace ni l’écriture de la récurrence ni la vérification des arrondis.

Déterminer le sens de variation d’une suite

Pour établir le sens de variation d’une suite définie par récurrence, on étudie en priorité le signe de u_n+1 − u_n. Si cette différence est positive ou nulle pour tout rang concerné, la suite est croissante ; si elle est négative ou nulle, elle est décroissante. La rédaction doit annoncer les rangs et les hypothèses utilisés, puis détailler l’étude de signe.

Avec l’exemple précédent, u_n+1 − u_n = 3 − 0,2u_n. On ne peut pas conclure immédiatement : il faut connaître ou démontrer une borne sur u_n. Si l’on établit que u_n est inférieur ou égal à 15, alors 3 − 0,2u_n est positif ou nul, ce qui permet de prouver la croissance. Une suite est majorée lorsqu’un réel est toujours au-dessus de ses termes, minorée lorsqu’un réel est toujours au-dessous, et bornée lorsqu’elle possède les deux propriétés. Pour une forme explicite u_n = f(n), l’étude de la fonction associée peut aussi aider, à condition de justifier son usage sur les entiers naturels.

Étudier une limite et vérifier son raisonnement

La limite décrit le comportement des termes lorsque leur rang devient très grand : elle traduit l’idée d’un seuil à long terme. Une suite croissante et majorée possède une limite finie ; il en va de même pour une suite décroissante et minorée. Ces deux éléments doivent toutefois être démontrés séparément. Voir des valeurs qui semblent se stabiliser sur une calculatrice constitue une observation utile, mais non une preuve de convergence.

Pour la suite u_n+1 = 0,8u_n + 3, les termes calculés paraissent se rapprocher de 15. Si une limite L existe, le passage à la limite dans la relation donne L = 0,8L + 3, donc L = 15. Cette équation identifie une limite possible ; elle ne prouve pas à elle seule que la suite converge. Vérifiez aussi les premiers termes, les décalages d’indice, les signes et la compatibilité d’une valeur proposée avec la récurrence. Pour progresser, entraînez-vous avec des exercices gradués : calcul de termes, reconnaissance de nature, encadrement, variations, puis limites. Les suites, les fonctions et les limites se renforcent alors mutuellement.

Pour travailler les suites en Terminale, commencez toujours par écrire la définition exacte, le premier rang et les premiers termes. Choisissez ensuite l’outil adapté plutôt qu’une formule au hasard. Une vérification par calcul direct, tableau de valeurs ou comparaison entre termes permet souvent de repérer une erreur. Reprenez l’exemple pas à pas, puis entraînez-vous avec des définitions explicites et par récurrence.