Les probabilités conditionnelles en Première deviennent plus claires
Une probabilité conditionnelle calcule la chance qu’un événement A se produise lorsqu’un événement B est déjà connu. Elle se note P_B(A) ou P(A|B) et se calcule par P(A∩B) ÷ P(B), à condition que P(B) soit non nulle.
Par Soraya Kermadec
Une probabilité conditionnelle calcule la chance qu’un événement A se produise lorsqu’un événement B est déjà connu. Elle se note P_B(A) ou P(A|B) et se calcule par P(A∩B) ÷ P(B), à condition que P(B) soit non nulle.
Dans une classe, savoir qu’un élève pratique un sport ne permet pas de répondre directement à la question « quelle est la probabilité qu’il joue aussi d’un instrument ? ». Il faut d’abord ne considérer que les élèves sportifs. Ce changement de population est le point central des probabilités conditionnelles en Première. Tableaux, arbres pondérés et calculs algébriques décrivent la même idée : une information déjà connue modifie l’ensemble des situations parmi lesquelles on calcule une proportion.
Comprendre ce que signifie une probabilité conditionnelle
Avant de commencer, il faut connaître un événement, c’est-à-dire un résultat ou une propriété observée dans un univers, ainsi que sa probabilité. L’intersection A ∩ B désigne les situations où A et B sont réalisés ensemble. Une probabilité conditionnelle intervient dès que l’énoncé contient « sachant que » ou « parmi les élèves qui… ». Par exemple, parmi les élèves qui déjeunent à la cantine, quelle part participe aussi à un club ? On ne regarde plus tous les élèves : on ne conserve que ceux qui déjeunent à la cantine. Cette probabilité se note PB(A), ou P(A|B). Attention : PB(A) et PA(B) répondent généralement à des questions différentes.
Appliquer la formule sans confondre le numérateur et le dénominateur
Lorsque P(B) n’est pas nulle, la formule de probabilité conditionnelle est PB(A) = P(A ∩ B) / P(B). Le numérateur correspond aux cas où les deux événements se produisent. Le dénominateur est l’événement connu : il représente la population réduite par l’information B. Pour éviter une inversion, procédez ainsi :
- Nommez l’événement recherché : ici A.
- Repérez la condition introduite par « sachant que » : ici B.
- Écrivez l’intersection A ∩ B, qui décrit les cas communs.
- Divisez cette intersection par P(B), et non par P(A).
L’ordre des mots est donc décisif : « A sachant B » s’écrit PB(A). Une fois calculée, une probabilité doit être comprise entre 0 et 1. Si ce n’est pas le cas, le choix du dénominateur ou une opération mérite d’être revu.
Lire les probabilités conditionnelles dans un tableau ou un arbre
Le tableau croisé et l’arbre pondéré décrivent la même logique sous des formes complémentaires. Avec un tableau d’effectifs, cherchez d’abord l’effectif commun à A et B, puis divisez-le par l’effectif associé à la condition. Une ligne ou une colonne devient ainsi votre nouvel univers. Les effectifs peuvent ensuite être transformés en probabilités si l’exercice le demande. Dans un arbre de probabilité, une branche du second niveau indique une probabilité conditionnelle. Le produit des probabilités le long d’un chemin donne la probabilité de l’intersection correspondante.
| Situation connue | Représentation utile |
|---|---|
| Des catégories et leurs effectifs sont fournis | Tableau croisé |
| Une expérience se déroule en étapes successives | Arbre pondéré |
Pour prolonger, Lumni propose un exercice consacré au calcul de probabilités conditionnelles à partir d’un tableau croisé. Il est utile pour s’entraîner à choisir la bonne ligne ou la bonne colonne avant de calculer.
Résoudre un exemple complet pas à pas
Hypothèses. Dans une enquête entièrement fictive menée auprès d’élèves, on note S l’événement « pratiquer un sport en club » et V l’événement « utiliser le vélo pour venir au lycée ». On suppose que P(S) = 0,40 et que P(S ∩ V) = 0,15. La question est : quelle est la probabilité d’utiliser le vélo sachant que l’on pratique un sport en club ?
Calculs. La condition est S : le dénominateur doit donc être P(S). On écrit PS(V) = P(S ∩ V) / P(S) = 0,15 / 0,40 = 0,375.
Conclusion. La question inverse, P V (S), serait différente : elle demanderait la part des sportifs en club parmi les élèves qui viennent à vélo et son dénominateur serait P(V).
Vérifier son résultat et s'entraîner avec les bonnes questions
Pour contrôler votre réponse, relisez d’abord la notation comme une phrase : P B (A) signifie bien « A parmi les cas où B est réalisé ». Vérifiez ensuite que B est au dénominateur, que le résultat appartient à l’intervalle allant de 0 à 1 et qu’il paraît cohérent avec les données. L’indépendance fournit aussi un repère : si A et B sont indépendants, connaître B ne change pas la probabilité de A. Cette propriété doit être démontrée, jamais supposée.
Entraînez-vous mentalement : si P(A ∩ B) = 0,12 et P(B) = 0,30, calculez PB(A). Puis, dans un tableau où 18 élèves sur 45 ayant choisi une option lisent régulièrement, formulez la probabilité recherchée. Pour consolider, révisez aussi les probabilités en Seconde, les arbres pondérés et l’indépendance des événements.
On répond à vos questions
Quelle est la différence entre P(A sachant B) et P(B sachant A) ?
P(A sachant B) mesure la part des situations où A est réalisé parmi celles où B est déjà réalisé. P(B sachant A) inverse la population de référence. Les intersections sont identiques, mais le dénominateur change généralement, donc les deux probabilités aussi.
Comment calculer une probabilité conditionnelle à partir d’un tableau d’effectifs ?
Repérez l’effectif des individus qui vérifient simultanément A et B. Divisez-le par l’effectif de la catégorie correspondant à la condition. Pour calculer P(A sachant B), vous divisez donc l’effectif de A ∩ B par l’effectif de B.
Pourquoi divise-t-on par la probabilité de l’événement connu ?
L’événement connu définit un nouvel ensemble de référence. Après l’information B, seuls les cas où B est réalisé restent pertinents. Diviser par P(B) transforme alors la probabilité des cas communs A ∩ B en proportion calculée uniquement à l’intérieur de B.
Comment savoir si deux événements sont indépendants ?
Deux événements A et B sont indépendants lorsque connaître la réalisation de B ne modifie pas la probabilité de A. Si P(B) n’est pas nulle, on vérifie que P(A sachant B) est égale à P(A). On peut aussi contrôler que P(A ∩ B) est égal à P(A) × P(B).
Pour traiter une probabilité conditionnelle, commencez toujours par repérer l’information connue après « sachant que ». Restreignez ensuite la population à cette condition, puis comptez ou calculez la part correspondant aussi à l’événement recherché. Vérifiez enfin que le résultat est compris entre 0 et 1 et que le dénominateur représente bien la population restreinte.
Révisé en juillet 2026
