La loi binomiale en terminale : méthode, calculs et vérifications

La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus lors de n épreuves indépendantes ayant chacune la même probabilité p de succès. Si X suit B(n ; p), alors P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k), et son espérance vaut n × p.

Sur dix lancers indépendants d’une pièce équilibrée, obtenir exactement six faces ne se calcule pas en multipliant seulement six probabilités de face. Il faut aussi compter toutes les positions possibles de ces six succès parmi les dix lancers. Cette idée conduit à la loi binomiale, un outil central des probabilités en terminale. Pour l’utiliser avec rigueur, il faut d’abord contrôler les hypothèses, choisir la bonne formule, puis vérifier que le résultat obtenu est cohérent.

Reconnaître une situation de loi binomiale

Avant tout calcul, il faut identifier l’expérience. Une expérience aléatoire produit un résultat incertain ; une probabilité mesure la chance d’un événement. Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues, appelées succès et échec. Le mot « succès » est neutre : il désigne simplement l’issue que l’on compte. Si la variable aléatoire X compte les succès, elle suit une loi binomiale B(n ; p) seulement si quatre conditions sont réunies : le nombre d’essais est fixé, chaque essai a deux issues, la probabilité du succès p reste la même et les essais sont indépendants. Par exemple, des contrôles réalisés par un appareil dont la batterie se décharge peuvent ne pas former un schéma de Bernoulli : la probabilité de détection diminue alors d’un contrôle au suivant. La loi binomiale ne convient donc pas automatiquement.

Appliquer la formule de la loi binomiale

Lorsque X suit B(n ; p), la probabilité d’obtenir exactement k succès est P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^{n − k}, pour un entier k compris entre 0 et n. Le coefficient binomial C(n, k) compte les façons de placer k succès parmi les n essais. Le terme p^k correspond aux succès et (1 − p)^{n − k} aux échecs. Ainsi, « exactement k » ne décrit pas un ordre précis : tous les ordres possibles sont pris en compte.

1. Traduisez la phrase : « au plus k » signifie X ≤ k, « au moins k » signifie X ≥ k, et « entre » se traduit par une somme adaptée.
2. Vérifiez que k est un entier de l’intervalle [0 ; n].
3. Choisissez la formule ponctuelle ou additionnez plusieurs probabilités.
4. Arrondissez uniquement le résultat final.

Les erreurs classiques sont l’oubli de C(n, k), l’inversion de p et de 1 − p, ou le calcul d’une probabilité pour une valeur de k impossible.

Calculer et interpréter l'espérance et la variance

L’espérance donne un repère de moyenne théorique. Pour une épreuve de Bernoulli de paramètre p, l’espérance vaut p. En répétant n essais dans un schéma de Bernoulli, on obtient donc E(X) = np. Sur un grand nombre de séries identiques, le nombre moyen de succès se rapproche de cette valeur. Cela ne transforme pas l’espérance en prédiction certaine pour une série particulière.

Un résultat observé est toujours un entier : on compte un nombre de succès. En revanche, une espérance peut être non entière. Elle indique alors une moyenne sur des répétitions, et non un résultat réalisable tel quel. Une variance plus grande signale simplement des résultats potentiellement plus éloignés de la moyenne ; elle ne donne pas, à elle seule, une probabilité précise.

Exemple corrigé : calculer une probabilité de succès

Hypothèses. Un capteur effectue six contrôles indépendants. À chaque contrôle, il détecte correctement un signal avec une probabilité égale à 0,3. On note X le nombre de détections correctes. Les essais ont deux issues, la probabilité reste constante et l’indépendance est donnée : X suit donc B(6 ; 0,3).

Calcul. Chercher exactement deux détections correctes revient à calculer P(X = 2). On applique la formule : P(X = 2) = C(6,2) × 0,3² × 0,7⁴ = 0,324135. Après arrondi, on obtient environ 0,324.

Conclusion et contrôle. La probabilité d’obtenir exactement deux détections correctes est donc d’environ 0,324. L’espérance vaut E(X) = 6 × 0,3 = 1,8. Cette valeur ne signifie pas qu’une série produira 1,8 détection : le résultat réel est entier. Elle aide toutefois à juger le résultat : deux succès est plausible, car ce nombre est proche de l’espérance.

Vérifier son résultat et utiliser la calculatrice avec méthode

Une vérification évite de perdre des points sur une erreur de traduction ou de saisie. Contrôlez d’abord que 0 ≤ p ≤ 1 et que k est un entier possible. Relisez ensuite l’événement : « au plus » correspond à une probabilité cumulée vers le bas, tandis que « au moins » se traite souvent par une somme ou par le complémentaire. Toute probabilité finale doit être comprise entre 0 et 1.

Les calculatrices graphiques proposent généralement une fonction de probabilité ponctuelle pour P(X = k) et une fonction cumulée pour P(X ≤ k). Le nom du menu varie selon le modèle : consultez sa notice plutôt que de retenir une commande supposée universelle. Saisissez n, p et la borne avec attention, puis comparez l’affichage au calcul manuel. Gardez les décimales pendant les opérations et n’arrondissez qu’à la fin.

Enfin, confrontez l’ordre de grandeur à l’espérance : un événement très éloigné de np mérite une relecture. Pour réviser, adoptez cette routine : reconnaître la situation, noter B(n ; p), traduire l’événement, calculer, interpréter puis contrôler.

Pour maîtriser la loi binomiale, commencez toujours par identifier le nombre d’essais n, la probabilité de succès p et la variable comptée. Vérifiez ensuite les quatre conditions du schéma de Bernoulli avant tout calcul. Entraînez-vous à distinguer « exactement », « au plus » et « au moins », puis contrôlez vos probabilités avec l’espérance et des bornes simples entre 0 et 1.

Bon à savoir

Comment appliquer la formule de la loi binomiale ?

Après avoir vérifié que X suit B(n ; p), repérez le nombre k de succès demandé. Pour « exactement k », utilisez P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^{n − k}. Pour une inégalité, additionnez les probabilités concernées ou utilisez une probabilité cumulée.

Comment calculer l'espérance d'une loi binomiale ?

Si X suit B(n ; p), calculez son espérance avec E(X) = np. Multipliez simplement le nombre d’essais par la probabilité de succès d’un essai. Le résultat représente un nombre moyen théorique de succès sur de nombreuses répétitions du même protocole.

Comment interpréter l'espérance d'une loi binomiale ?

L’espérance sert de point de repère pour situer les résultats attendus. Elle n’annonce pas le résultat d’une unique série et peut être non entière. Or le nombre de succès réellement observé reste entier : une espérance non entière correspond donc à une moyenne, pas à une observation exacte.

Comment faire une loi binomiale sur Casio ?

Repérez dans les menus de statistiques ou de distributions une fonction binomiale ponctuelle pour calculer P(X = k), ou cumulée pour calculer P(X ≤ k). Le nom exact dépend du modèle de calculatrice : vérifiez la notice. Contrôlez toujours n, p, la borne saisie et l’événement traduit.

Comment reconnaître une situation relevant de la loi binomiale ?

Vérifiez quatre points : un nombre d’essais fixé, deux issues à chaque essai, une même probabilité de succès et l’indépendance des essais. Si l’une de ces conditions échoue, notamment si la probabilité change au cours de l’expérience, la loi binomiale n’est pas adaptée.

Actualisé le 25.07.2026