La loi binomiale en Première se comprend pas à pas

La loi binomiale en Première décrit le nombre de succès obtenus au cours de n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune ayant la même probabilité p de succès. Elle permet de calculer la probabilité d’obtenir exactement k succès grâce à une formule combinant coefficients binomiaux, p et 1 − p.

Un élève lance dix fois une pièce équilibrée et cherche la probabilité d’obtenir exactement six faces. Le calcul ne consiste pas seulement à écrire une formule : il faut d’abord vérifier que les lancers sont indépendants, identifier ce qui compte comme un succès et choisir les bons paramètres. La loi binomiale fournit une méthode structurée pour traduire ce type de situation, effectuer les calculs puis contrôler que le résultat obtenu est cohérent.

Reconnaître une situation de loi binomiale

Une loi binomiale décrit le nombre de succès obtenus au cours d’une répétition d’épreuves de Bernoulli. On note X la variable aléatoire qui compte ces succès et, lorsque les conditions sont réunies, on écrit : X suit la loi binomiale de paramètres n et p. Le paramètre n est le nombre d’essais ; p est la probabilité d’un succès à chaque essai.

Avant de calculer, vérifiez quatre points dans l’énoncé : le nombre d’essais est fixé ; chaque essai possède deux issues, appelées succès et échec ; les essais sont indépendants ; la probabilité p reste identique. Le mot « succès » est seulement une étiquette mathématique : tirer une carte noire, répondre faux ou obtenir un symbole précis peut être le succès choisi.

Attention aux tirages sans remise : retirer un objet modifie souvent la composition restante, donc la probabilité et l’indépendance. Ils ne relèvent pas automatiquement d’une loi binomiale. En revanche, des essais avec remise, ou des manches annoncées indépendantes, peuvent convenir si p demeure constant.

Calculer une probabilité avec la formule binomiale

Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, la probabilité d’obtenir exactement k succès est : P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^{n − k}. Cette expression a un sens : k est le nombre de succès recherché, n − k celui des échecs. Le facteur p^k donne la probabilité des succès d’une configuration, tandis que (1 − p)^{n − k} correspond aux échecs.

Le coefficient binomial C(n, k) compte les façons de placer k succès parmi n essais. Il se calcule avec la touche dédiée de la calculatrice ou, si demandé, avec les factorielles : C(n, k) = n ! / [k ! × (n − k) !].

1. Repérez n, p et k dans l’énoncé.
2. Écrivez la loi suivie par X.
3. Remplacez les paramètres dans la formule.
4. Conservez les parenthèses, surtout autour de 1 − p.
5. Arrondissez seulement le résultat final.

Les formulations changent le calcul : « au plus » demande une somme de probabilités jusqu’à une valeur ; « au moins » une somme à partir d’une valeur ; « entre » une somme des valeurs incluses dans l’intervalle.

Exemple corrigé : exactement quatre succès sur huit essais

Hypothèses. Dans un jeu de cartes virtuel, une manche donne un succès avec une probabilité de 0,35. Les manches sont indépendantes et le jeu en comporte huit. Chaque manche a deux issues : succès ou échec. Si X désigne le nombre de succès, alors X suit la loi binomiale de paramètres 8 et 0,35.

Calcul. L’expression « exactement quatre » impose k = 4 : il ne faut donc ni ajouter les probabilités de trois ou cinq succès, ni calculer une probabilité cumulée. La probabilité d’un échec vaut 1 − 0,35 = 0,65. Ainsi : P(X = 4) = C(8,4) × 0,35⁴ × 0,65⁴ = 70 × 0,01500625 × 0,17850625. On obtient environ 0,1876.

Conclusion. Le coefficient 70 est essentiel : il tient compte de tous les ordres possibles des quatre succès et des quatre échecs.

Vérifier son résultat et interpréter la probabilité

Un calcul juste commence par des contrôles simples. Vérifiez que 0 ≤ k ≤ n et que 0 ≤ p ≤ 1. Relisez ensuite les exposants : p doit être élevé au nombre de succès k, et 1 − p au nombre d’échecs n − k. Une parenthèse oubliée dans (1 − p)^{n − k} suffit à fausser le résultat.

La valeur trouvée doit appartenir à l’intervalle allant de 0 à 1. Pour apprécier son ordre de grandeur, utilisez l’espérance de la loi binomiale : E(X) = n × p. Dans l’exemple, elle vaut 8 × 0,35 = 2,8. Quatre succès sont donc plausibles, même s’ils ne correspondent pas au nombre moyen attendu.

La calculatrice sert de contrôle final, non de remplacement au raisonnement. Utilisez sa fonction binomiale en saisissant les mêmes paramètres n, p et k, puis comparez l’affichage avec votre résultat arrondi. En cas d’écart, contrôlez d’abord le sens de la question : une fonction cumulée ne répond pas forcément à « exactement ».

Éviter les confusions fréquentes et s’entraîner

Les mots de l’énoncé déterminent l’événement. « Exactement k » signifie P(X = k). « Au plus k » signifie P(X ≤ k). « Au moins k » signifie P(X ≥ k) ; on peut souvent utiliser l’événement contraire : P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Cette méthode évite une addition longue lorsque peu de valeurs se trouvent du côté complémentaire.

Une autre erreur consiste à écrire p pour les échecs : leur probabilité est 1 − p. Ne supposez pas non plus que plusieurs tirages sans remise sont indépendants : cela relève des probabilités conditionnelles. Enfin, malgré son nom voisin, la loi binomiale négative étendue répond à une logique de décompte différente : la loi binomiale fixe le nombre d’essais et compte les succès.

Pour vous entraîner, choisissez une loi binomiale de paramètres n = 9 et p = 0,4. Calculez d’abord P(X ≤ 2), puis P(X ≥ 6) avec l’événement contraire. Pour aller plus loin, reliez cette méthode aux probabilités conditionnelles, aux arbres pondérés et au vocabulaire des variables aléatoires : ces outils aident à décider si l’indépendance et la stabilité de p sont réellement justifiées.

Pour utiliser correctement la loi binomiale, commencez par tester les quatre conditions : nombre d’essais fixé, deux issues, indépendance et probabilité constante. Écrivez ensuite clairement les paramètres n, p et la variable X avant tout calcul. Entraînez-vous avec des contextes variés, puis vérifiez toujours que votre probabilité est comprise entre 0 et 1.

Mise à jour : 25 juillet 2026