Les probabilités en terminale se maîtrisent avec une méthode

Les probabilités en terminale reposent sur la traduction rigoureuse d’un énoncé en événements, arbres ou variables aléatoires. Pour résoudre un exercice, il faut identifier les données, choisir entre probabilités conditionnelles, loi binomiale ou calcul d’espérance, puis contrôler que le résultat obtenu est cohérent.

Un résultat supérieur à 1, une probabilité négative ou une somme de branches différente de 1 signalent immédiatement une erreur de modélisation. En terminale, les difficultés viennent souvent de la lecture des mots « et », « ou » et « sachant que », avant même l’application d’une formule. Une méthode ordonnée permet de relier chaque information de l’énoncé à un événement, de poser des calculs lisibles et de vérifier leur sens.

Reprendre les bases avant les probabilités de terminale

Avant les arbres et les lois, il faut traduire correctement l’énoncé. L’univers regroupe toutes les issues possibles ; un événement est un ensemble d’issues. Si A désigne « le tirage est rouge », son contraire, noté non A, signifie « le tirage n’est pas rouge ». L’intersection A inter B correspond à « A et B se réalisent », tandis que l’union A ou B signifie qu’au moins l’un des deux événements se réalise. Un événement impossible a une probabilité nulle ; un événement certain a une probabilité égale à un. Distinguez P(A), qui mesure la réalisation de A, de P(A inter B), qui impose deux conditions simultanées. Dans un énoncé, « sachant que » annonce une condition, alors que « et » renvoie généralement à une intersection. Pour consolider ce vocabulaire, reprenez une leçon de niveau première sur les probabilités simples.

Utiliser un arbre pondéré et la probabilité conditionnelle

Choisissez un arbre pondéré lorsqu’une expérience se déroule en étapes : un choix suivi d’un contrôle, un test après une situation initiale, ou une sélection successive. Il rend visible ce qui dépend de l’étape précédente.

1. Définissez des événements avec des lettres explicites.
2. Placez sur chaque branche la probabilité adaptée à la situation atteinte ; après A, on inscrit notamment P(B sachant A).
3. Multipliez les probabilités d’un même chemin : le chemin A puis B traduit P(A inter B) = P(A) × P(B sachant A).
4. Additionnez les chemins qui réalisent l’événement demandé.

Ne confondez pas P(B sachant A), qui suppose A déjà réalisé, et P(A inter B), qui décrit la réalisation conjointe de A et B. Enfin, vérifiez chaque nœud : les probabilités de ses branches issues totalisent toujours un. Cette vérification repère vite une branche oubliée ou un complément mal calculé.

Reconnaître une épreuve de Bernoulli et une loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli ne possède que deux issues : le succès, de probabilité p, et l’échec, de probabilité 1 − p. Une loi binomiale convient si cette même épreuve est répétée un nombre fixé de fois, avec une même probabilité de succès et des essais indépendants. La variable aléatoire X compte alors le nombre de succès obtenus.

On écrit que X suit une loi binomiale de paramètres n et p. L’écriture P(X = k) se lit : « probabilité d’obtenir exactement k succès ». Sa formule associe trois idées : le coefficient binomial compte les façons de placer les k succès parmi les essais ; p puissance k traduit les succès ; et (1 − p) puissance n − k traduit les échecs. Ainsi, P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^n−k. L’espérance n × p donne un nombre moyen de succès attendu sur de nombreuses répétitions, pas une prédiction certaine. En complément, entraînez-vous avec un exercice sur les coefficients binomiaux ou le dénombrement.

Résoudre un exemple complet de loi binomiale

Un capteur fournit un signal exploitable avec une probabilité de 0,3 lors de chacun de huit essais indépendants. On note X le nombre de signaux exploitables. Chaque essai a deux issues, la probabilité de succès reste la même et les essais sont indépendants : X suit donc une loi binomiale de paramètres 8 et 0,3.

Pour obtenir exactement deux signaux exploitables, on rédige :

P(X = 2) = C(8,2) × 0,3² × 0,7⁶ ≈ 0,2965.

La conclusion doit reprendre le contexte : la probabilité d’avoir exactement deux signaux exploitables est d’environ 0,2965. Pour « au moins un signal », il est plus efficace de passer par l’événement contraire, « aucun signal exploitable » :

P(X supérieur ou égal à 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,7⁸ ≈ 0,9424.

Il est donc très probable d’obtenir au moins un signal, sans que cela devienne une certitude lors d’une série précise.

Vérifier ses calculs et s’entraîner efficacement

La vérification fait partie de la résolution : elle porte d’abord sur le modèle, puis sur les calculs et enfin sur la phrase de conclusion.

• Contrôlez les hypothèses. Pour une loi binomiale, vérifiez les deux issues, le nombre d’essais fixé, la stabilité de la probabilité de succès et l’indépendance indiquée ou justifiée.
• Testez les bornes. Toute probabilité doit être comprise entre zéro et un. Vérifiez aussi que P(A) + P(non A) = 1.
• Relisez l’arbre. Les branches partant d’un même nœud doivent former un total de un. Un produit correspond à un chemin ; une somme rassemble plusieurs chemins favorables.
• Estimez la cohérence. En loi binomiale, comparez le nombre de succès demandé à l’espérance n × p : un résultat très éloigné mérite une relecture.
• Utilisez la calculatrice avec recul. Elle confirme une expression correctement saisie, mais ne choisit ni l’événement ni la méthode.

Pour progresser, refaites un exercice sans correction, expliquez votre choix de modèle à voix haute, puis ne comparez que les étapes où votre raisonnement diverge. Passez ensuite à des exercices progressifs de probabilités terminale.

Pour progresser, commencez chaque exercice par définir les événements et relever les conditions indiquées dans l’énoncé. Choisissez ensuite une représentation adaptée, comme un arbre ou une loi binomiale, avant de calculer. Terminez toujours par un contrôle : une probabilité appartient à l’intervalle de 0 à 1 et doit rester compatible avec les données de départ.

Comment savoir s’il faut utiliser un arbre pondéré en probabilités ?

Utilisez un arbre lorsque l’expérience comporte des étapes successives ou lorsqu’une information modifie la probabilité d’un événement. Les branches permettent d’écrire clairement les conditions. Multipliez sur un chemin précis, puis additionnez les chemins qui correspondent à l’événement recherché.

Quelle est la différence entre une probabilité conditionnelle et une intersection ?

Une intersection décrit la réalisation simultanée de deux événements : A et B. Une probabilité conditionnelle mesure B en supposant que A est déjà réalisé. Dans un arbre, la conditionnelle figure sur une branche après A ; leur produit donne l’intersection.

Comment reconnaître une loi binomiale dans un exercice de terminale ?

Repérez une répétition d’une même expérience avec deux issues, succès ou échec. Vérifiez que le nombre d’essais est fixé, que la probabilité de succès ne change pas et que les essais sont indépendants. La variable doit compter le nombre de succès.

Comment vérifier un résultat de probabilités à la calculatrice ?

Saisissez l’expression avec parenthèses et puissances, puis comparez l’affichage à votre estimation. Le résultat doit rester entre zéro et un. Vérifiez séparément les compléments, les produits de branches et les sommes de chemins avant de conclure que la saisie est correcte.

Actualisé le 25/07/2026