Les logarithmes au bac de maths se maîtrisent par la méthode

Le logarithme népérien associe à tout nombre strictement positif l’exposant auquel élever e pour obtenir ce nombre. Au bac de maths, la méthode consiste à vérifier le domaine de définition, appliquer les propriétés avec prudence, puis contrôler le résultat par substitution ou exponentiation.

Une expression telle que ln(3 − x) perd tout sens dès que x atteint 3. Cette contrainte, souvent oubliée dans la précipitation, guide pourtant chaque calcul avec des logarithmes. Les exercices peuvent demander de simplifier une expression, résoudre une équation, étudier une fonction ou justifier une inégalité. La difficulté ne vient pas seulement des formules à connaître : elle tient aussi à l’ordre des étapes, à la rédaction des hypothèses et à la vérification finale.

Comprendre ce que mesure le logarithme

Le logarithme népérien, noté ln, associe à tout nombre strictement positif l’exposant auquel il faut élever le nombre e pour obtenir ce nombre. Ainsi, ln(e^u) = u et e^ln(x) = x lorsque x est positif : la fonction exponentielle et le logarithme népérien sont réciproques. Cette relation permet de résoudre des équations, mais elle ne dispense jamais du contrôle du domaine de définition. Par exemple, ln(5) est défini, tandis que ln(0) et ln(-5) ne le sont pas dans les réels. Un calcul exact conserve des écritures comme ln(8) ou 3ln(2) ; une calculatrice fournit seulement une valeur approchée. Graphiquement, la courbe de ln est définie à droite de 0 et croît : ce repère aide à juger la cohérence d’un résultat. Avant toute transformation, vérifiez donc systématiquement que chaque argument de logarithme est strictement positif.

Réunir les prérequis avant de résoudre un exercice

• Réactiver les puissances : savoir transformer e^ae^b en e^a+b et utiliser les identités remarquables facilite les calculs après disparition des logarithmes.
• Étudier les signes : pour écrire ln(A), il faut A > 0. Dans un produit ou un quotient, repérez les zéros et établissez les intervalles où l’expression est positive.
• Maîtriser les propriétés fiables : si a et b sont positifs, ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln(a/b) = ln(a) − ln(b) et ln(aⁿ) = nln(a) lorsque l’expression a un sens.
• Éviter l’erreur classique : ln(a + b) n’est généralement pas égal à ln(a) + ln(b). Les propriétés du logarithme concernent les produits, les quotients et les puissances, pas les additions.
• Faire un diagnostic : avant un exercice, entraînez-vous à déterminer le domaine de définition, résoudre une inégalité simple et lire une solution sous forme d’intervalle. La calculatrice sert ensuite à contrôler une approximation, non à justifier une égalité.

Appliquer une méthode pas à pas aux équations logarithmiques

1. Poser les hypothèses : notez que chaque argument doit être strictement positif. Elles définissent les valeurs de l’inconnue qu’il sera possible de conserver.
2. Observer la forme : une somme de logarithmes peut devenir le logarithme d’un produit ; une différence peut devenir celui d’un quotient. N’appliquez une propriété qu’après avoir vérifié ses conditions.
3. Regrouper puis comparer : lorsque vous obtenez ln(A) = ln(B), avec A et B positifs, l’injectivité du logarithme népérien autorise l’équivalence A = B.
4. Résoudre l’équation algébrique : développez, factorisez ou utilisez la méthode adaptée. Ne divisez pas par une expression contenant l’inconnue sans traiter le cas où elle serait nulle.
5. Filtrer et contrôler : retirez les solutions interdites par les hypothèses, puis remplacez chaque candidate dans l’énoncé initial.

Cette discipline reste utile dans les études de fonctions : avant une dérivée ou un tableau de variations contenant ln(u(x)), le domaine de définition de u doit être établi.

Résoudre un exemple original et vérifier chaque étape

Hypothèses : résolvons ln(x − 1) + ln(x + 1) = ln(8). Il faut x − 1 > 0 et x + 1 > 0 ; la condition commune est donc x > 1. Calculs : sur ce domaine, la somme devient ln((x − 1)(x + 1)) = ln(8), soit ln(x² − 1) = ln(8). Par injectivité, x² − 1 = 8, puis x² = 9. L’équation intermédiaire donne x = 3 ou x = −3. Conclusion : seule la valeur 3 respecte x > 1 ; l’ensemble solution est donc S = {3}. La vérification est immédiate : pour x = 3, le membre de gauche vaut ln(2) + ln(4), donc ln(8). La valeur −3 est rejetée, car les arguments des logarithmes ne seraient pas positifs, même si elle résout l’équation algébrique obtenue ensuite.

Construire une stratégie de révision et de vérification

• Classer les exercices par objectif : commencez par le domaine de définition, puis la simplification, les équations, les inéquations et les études de fonctions. Si elle est au programme de votre travail, ajoutez la dérivée de la fonction logarithme.
• Réviser activement : écrivez les propriétés de mémoire, puis confrontez-les à de courts calculs. Cherchez notamment une expression qui ressemble à une propriété mais ne l’autorise pas.
• Augmenter la difficulté : passez d’un logarithme isolé à des expressions où le signe dépend de x, puis à des exercices mêlant logarithme népérien et fonction exponentielle.
• Relire avec trois questions : tous les arguments sont-ils positifs ? La transformation correspond-elle à un produit, un quotient ou une puissance ? La réponse satisfait-elle réellement l’énoncé de départ ?
• Contrôler sans remplacer la démonstration : une substitution exacte est prioritaire. Une approximation décimale peut signaler une incohérence, mais ne prouve pas une égalité. Pour compléter les révisions, travaillez aussi les puissances, les équations et inéquations, puis la dérivation des fonctions logarithmiques.

Face à un exercice de logarithme, commencez toujours par noter les conditions de positivité des arguments. Transformez ensuite l’expression une étape après l’autre, en indiquant la propriété utilisée. Terminez par un contrôle adapté : remplacement dans l’équation, comparaison de signes ou retour à l’exponentielle. Cette routine rend les calculs plus lisibles et limite les erreurs de domaine.

Foire aux questions

Quelles sont les conditions d’existence d’un logarithme ?

Pour que ln(A) soit défini dans les réels, il faut et il suffit que A soit strictement positif. Avant de calculer, résolvez donc A > 0. Cette condition s’applique à chaque logarithme présent dans l’expression, y compris lorsqu’il est au dénominateur ou composé avec une fonction.

Comment résoudre une équation avec des logarithmes ?

Commencez par écrire les conditions de positivité des arguments. Regroupez ensuite les logarithmes seulement avec une propriété adaptée. Lorsque vous obtenez ln(A) = ln(B), remplacez-la par A = B, puis résolvez l’équation. Enfin, testez les solutions obtenues dans les conditions et dans l’énoncé initial.

Pourquoi ln(a + b) n’est-il pas égal à ln(a) + ln(b) ?

La somme ln(a) + ln(b) correspond à ln(ab), car l’exponentielle transforme une somme d’exposants en produit. Elle ne correspond donc pas au logarithme de a + b. Un contre-exemple suffit : ln(2) + ln(2) = ln(4), alors que ln(2 + 2) donne aussi ln(4) seulement par coïncidence.

Comment vérifier une solution dans un exercice de logarithme ?

Vérifiez d’abord que la valeur proposée rend tous les arguments strictement positifs. Remplacez ensuite l’inconnue dans l’équation de départ concernant les logarithmes, et non seulement dans une ligne intermédiaire. Si possible, simplifiez exactement ; une valeur approchée à la calculatrice peut compléter ce contrôle, sans constituer une démonstration.

Contenu vérifié le 25 juillet 2026