Les inéquations en Seconde deviennent claires avec une méthode
Par Soraya Kermadec
Une inéquation est une comparaison comportant une inconnue, telle que 3x - 2 ≤ 7. La résoudre consiste à trouver les valeurs de x qui la rendent vraie, puis à écrire l’ensemble solution sous forme d’intervalle ou sur une droite graduée.
Multiplier une inéquation par un nombre négatif sans inverser son signe conduit à une réponse fausse. Pour éviter ce piège, distinguez les transformations autorisées, lisez les intervalles et vérifiez le résultat.
Comprendre les inéquations en Seconde
Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue. La résoudre revient à trouver les valeurs de x qui la rendent vraie. Une équation cherche des valeurs donnant une égalité ; une inéquation donne souvent un ensemble de valeurs, représenté par un intervalle.
Les signes <, ≤, > et ≥ comparent deux expressions. Avec ≤ ou ≥, la borne appartient aux solutions ; avec < ou >, elle est exclue. En notation française, [2 ; 5] inclut les bornes, tandis que ]2 ; 5[ les exclut. Les prérequis utiles sont le calcul littéral, les nombres relatifs et les intervalles.
| Situation | Exemple | Réponse attendue |
|---|---|---|
| Équation | 2x = 6 | Une valeur : x = 3 |
| Inéquation simple | 2x < 6 | Un intervalle : ]−∞ ; 3[ |
| Produit | (x − 1)(x + 2) ≥ 0 | Des intervalles via les signes |
| Quotient | (x − 1)/(x + 2) > 0 | Des intervalles, avec valeur interdite |
Résoudre une inéquation du premier degré pas à pas
Une inéquation du premier degré contient x sans puissance supérieure à 1. Il faut isoler x en surveillant le signe de l’inégalité.
Hypothèse
Ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres ne modifie pas le sens. Multiplier ou diviser par un nombre négatif impose de l’inverser.
Méthode
- Identifier le signe et les termes contenant x.
- Regrouper les termes en x dans un membre.
- Regrouper les constantes dans l’autre membre.
- Isoler x en divisant par son coefficient.
- Traduire le résultat en intervalle.
Calcul
Résolvons −3x + 5 ≥ 14. On retranche 5 : −3x ≥ 9. Puis on divise par −3 : x ≤ −3. Le signe s’inverse car l’ordre des opposés est inversé.
Conclusion
S = ]−∞ ; −3]. Une inégalité large inclut la borne ; une inégalité stricte l’exclut.
Inéquation produit et quotient : raisonner avec un tableau de signes
Pour un produit ou un quotient, développer n’est pas toujours utile : la forme factorisée montre les valeurs où un facteur change de signe. Dans un quotient, toute valeur qui annule le dénominateur est interdite.
Résolvons (2x − 6)(x + 1) ≤ 0.
Hypothèses
L’expression est définie pour tout réel. Ses zéros sont −1 pour x + 1 et 3 pour 2x − 6.
Calcul
| Intervalle | ]−∞ ; −1[ | ]−1 ; 3[ | ]3 ; +∞[ |
|---|---|---|---|
| 2x − 6 | − | − | + |
| x + 1 | − | + | + |
| Produit | + | − | + |
Le produit est négatif entre les racines et nul aux racines. Comme le signe demandé est ≤ 0, les deux zéros sont retenus.
Conclusion et contrôle
S = [−1 ; 3]. Avec x = 0, le produit vaut −6 : cette valeur est solution. Avec x = 4, il vaut 10 : elle ne l’est pas. Le même principe s’applique à une inéquation du second degré déjà factorisée.
Exemple de quotient. Résolvons (x − 1)/(x + 2) > 0. Le domaine impose d’abord x ≠ −2, car le dénominateur ne doit jamais être nul. Les bornes du tableau sont donc −2, valeur interdite, et 1, zéro du numérateur. Le quotient est positif lorsque numérateur et dénominateur ont le même signe : avant −2 puis après 1. Comme l’inégalité est stricte, 1 est exclu.
| Intervalle | ]−∞ ; −2[ | ]−2 ; 1[ | ]1 ; +∞[ |
|---|---|---|---|
| x − 1 | − | − | + |
| x + 2 | − | + | + |
| Quotient | + | − | + |
S = ]−∞ ; −2[ ∪ ]1 ; +∞[. La valeur −2 reste exclue, même si un intervalle voisin est retenu.
Vérifier sa solution et répondre aux difficultés fréquentes
Choisissez une valeur dans l’intervalle trouvé : elle doit rendre l’inégalité vraie. Contrôlez une borne incluse, puis une valeur extérieure. Cette vérification révèle souvent une erreur de signe ou d’intervalle.
Les erreurs fréquentes sont l’oubli d’inverser le signe après une division négative, la confusion entre borne incluse et exclue, l’ajout d’une valeur interdite dans un quotient et l’absence de phrase finale donnant S.
Ce que disent les utilisateurs
Sans inventer de témoignages, les questions récurrentes dans les ressources d’entraînement portent surtout sur le changement de sens et les tableaux de signes. Leurs contenus ne sont pas reproduits ici.
Comment résoudre une inéquation en Seconde ?
Commencez par isoler x pour une inéquation du premier degré. Ajoutez ou retranchez les mêmes termes des deux côtés, puis divisez par le coefficient de x. Si ce coefficient est négatif, inversez le signe. Écrivez enfin l’ensemble solution sous forme d’intervalle.
Comment résoudre des inéquations ?
La méthode dépend de la forme. Pour une expression simple, isolez l’inconnue. Pour un produit ou un quotient factorisé, repérez les zéros, les valeurs interdites éventuelles et étudiez les signes sur chaque intervalle. Terminez par l’ensemble S.
Quand faut-il changer le sens d’une inéquation ?
Il faut inverser le sens uniquement lorsque vous multipliez ou divisez les deux membres par un nombre négatif. Passer de −3x ≥ 9 à x impose de diviser par −3 : on obtient x ≤ −3. Les additions et soustractions ne changent jamais le signe.
Quelle est la différence entre une équation et une inéquation ?
Pour résoudre une équation en parallèle d’une inéquation, appliquez les mêmes opérations aux deux membres afin d'isoler x. Avec le signe =, recherchez les valeurs qui donnent l’égalité ; avec <, ≤, > ou ≥, conservez celles qui rendent la comparaison vraie. Après une division par un nombre négatif, seule l’inéquation inverse son signe. Vérifiez ensuite le résultat par remplacement.
Pour résoudre une inéquation, transformez-la progressivement en conservant l’équivalence, inversez le signe uniquement lors d’une multiplication ou d’une division par un nombre négatif, puis rédigez la solution sous forme d’intervalle. Vérifiez avec une valeur admise et une valeur refusée.
