Les fonctions polynômes en première se maîtrisent pas à pas

Une fonction polynomiale associe à chaque réel x une somme de termes de la forme axⁿ, où n est un entier naturel. En première, son étude mobilise le calcul littéral, la factorisation, le calcul d’images et l’analyse du signe afin de résoudre des problèmes et contrôler les résultats.

Une erreur de signe dans une factorisation peut transformer deux racines exactes en une conclusion entièrement fausse. Les fonctions polynômes demandent donc davantage que le remplacement mécanique de x par un nombre : il faut reconnaître la forme de l’expression, organiser les calculs et interpréter le résultat obtenu. Ce cours propose une progression pour consolider les prérequis, calculer des images, exploiter une écriture factorisée et vérifier chaque étape par des tests numériques ou une lecture cohérente du comportement de la fonction.

Reconnaître une fonction polynomiale et mobiliser les prérequis

Une fonction est un procédé qui associe une image à chaque nombre choisi. Une fonction polynomiale s’écrit avec des additions, soustractions, multiplications et puissances entières naturelles de x : constante, fonction affine, carré ou cube de x peuvent donc intervenir. Par exemple, f(x)=2x³−5x²+x−4 est un polynôme de degré 3. En revanche, 1/x, √x et |x| ne sont pas des expressions polynomiales. Les prérequis sont le calcul littéral, les puissances, la distributivité et la lecture de f(x). À retenir : une fonction polynomiale est définie pour tout nombre réel. Pour réviser les bases, reportez-vous au cours de Seconde sur le calcul littéral et les fonctions affines.

Calculer une image et simplifier une expression polynomiale

Pour calculer une image, remplacez d’abord chaque x par le nombre demandé, avec des parenthèses si ce nombre est négatif. Calculez ensuite les puissances et les produits, puis réduisez les termes numériques. Avec g(x)=3x²−2x+1, on obtient g(−2)=3(−2)²−2(−2)+1=12+4+1=17. Les parenthèses évitent de confondre (−2)² et −2². Développer consiste à supprimer des parenthèses par distributivité ; réduire consiste à regrouper les termes semblables ; factoriser consiste à écrire un produit. La forme développée est souvent pratique pour une image, tandis que la forme factorisée sert à repérer les zéros et le signe.

Utiliser la forme factorisée pour trouver les zéros et le signe

Dans une forme factorisée, la propriété du produit nul permet de résoudre f(x)=0 : un produit est nul lorsqu’au moins un facteur est nul. Les solutions sont les zéros de la fonction, aussi appelés racines ; graphiquement, ils correspondent aux abscisses des points où la courbe rencontre l’axe des abscisses. Pour étudier le signe, repérez les facteurs et leurs zéros, placez-les dans l’ordre sur la droite réelle, puis examinez le signe de chaque facteur entre ces valeurs. N’oubliez pas le coefficient placé devant le produit : un coefficient négatif inverse le signe final. Un facteur au carré reste positif ou nul de part et d’autre de son zéro, alors qu’un facteur de puissance impaire change de signe.

Exemple guidé : étudier une fonction polynomiale de degré trois

Hypothèses. Soit h(x)=(x−3)(x+1)(2x−1), une fonction polynomiale de degré 3, déjà sous forme factorisée.
Calculs. h(0)=(−3)×1×(−1)=3. Pour résoudre h(x)=0, on annule successivement les facteurs : x=3, x=−1 ou x=1/2. Les valeurs −1,1/2 et 3 découpent la droite réelle. Le signe de h est négatif avant −1, positif entre −1 et 1/2, négatif entre 1/2 et 3, puis positif après 3. Développons : (x−3)(x+1)=x²−2x−3, donc h(x)=2x³−5x²−4x+3. Cette forme donne aussi h(0)=3.
Conclusion. Les deux écritures décrivent la même fonction. Ses trois zéros sont les abscisses des rencontres avec l’axe des abscisses. L’étude du signe ne suffit pas, à elle seule, à conclure sur les variations.

Vérifier ses résultats et s'entraîner sans confondre les méthodes

• Contrôlez un zéro : remplacez sa valeur dans l’expression ; le résultat doit être nul.
• Testez les intervalles : choisissez une valeur simple dans chacun d’eux et calculez le signe de tous les facteurs, y compris celui du coefficient placé devant le produit.
• Comparez les formes : une même image calculée avec la forme développée et la forme factorisée doit coïncider.
• Évitez les pièges : conservez les parenthèses devant un nombre négatif, ne confondez pas image et antécédent, et classez les racines dans l’ordre avant de conclure.
• Entraînez-vous : calculez p(−1) pour p(x)=x³+2x²−4 ; puis trouvez les zéros et le signe de q(x)=−(x−2)(x+4).

Pour poursuivre, cherchez une fiche d’exercices de Première et rapprochez cette méthode de l’étude d’une fonction du second degré.

Qu'est-ce qu'une fonction polynomiale ?

C’est une fonction obtenue en combinant des nombres et des puissances entières naturelles de x par additions, soustractions et multiplications. Par exemple, x³−2x+5 est polynomiale. Une expression contenant x au dénominateur ou une racine de x ne l’est pas.

Comment calculer l'image d'un nombre par une fonction polynomiale ?

Remplacez chaque x par le nombre demandé, en mettant ce nombre entre parenthèses s’il est négatif. Calculez les puissances, puis les produits, avant d’additionner ou de soustraire. Relisez l’expression initiale pour vérifier qu’aucun signe ou facteur n’a été oublié.

Comment trouver les zéros d'une fonction polynomiale factorisée ?

Écrivez l’équation f(x)=0, puis utilisez la propriété du produit nul. Chaque facteur doit être égal à zéro à son tour. Résolvez les petites équations obtenues et vérifiez les valeurs trouvées en les remplaçant dans l’expression factorisée.

Comment vérifier un tableau de signes d'une fonction polynomiale ?

Vérifiez d’abord l’ordre des zéros sur la droite réelle. Ensuite, prenez une valeur test dans chaque intervalle et déterminez le signe de chaque facteur. Le produit final doit tenir compte du coefficient éventuel placé devant les facteurs, surtout lorsqu’il est négatif.

Pour étudier une fonction polynomiale, commencez par identifier son expression et sa forme la plus utile. Écrivez les hypothèses, détaillez les calculs, puis annoncez une conclusion adaptée à la question. Une substitution numérique, un test de signe ou le développement d’une factorisation permet souvent de repérer une erreur avant qu’elle ne se propage.

Révisé le 25/07/2026