Les fonctions en Seconde deviennent claires avec une méthode

Une fonction associe à chaque nombre autorisé un unique résultat, appelé image. En Seconde, on apprend à déterminer son ensemble de définition, calculer des images, chercher des antécédents et interpréter une formule, un tableau ou une courbe en vérifiant le sens de chaque lecture.

Pour une même expression, remplacer x par 3 permet de calculer une image, tandis que résoudre f(x) = 3 revient à chercher un ou plusieurs antécédents : ces deux gestes souvent confondus ne répondent pas à la même question. Les fonctions donnent un langage pour décrire une dépendance entre des nombres. Ce cours progressif pose les prérequis, détaille les calculs et apprend à lire une représentation graphique avec prudence. Chaque résultat sera distingué entre hypothèses, calculs et conclusion.

Fonctions en Seconde : définition, vocabulaire et ensemble de définition

Les fonctions permettent de décrire une dépendance entre deux quantités : à une valeur de départ, on associe une valeur d’arrivée. Elles peuvent être présentées par une formule, un tableau de valeurs ou une courbe. Une fonction associe à chaque nombre autorisé un unique nombre, appelé son image. Le nombre de départ est souvent noté x et son image f(x). L’écriture f : x ↦ f(x) se lit « f associe à x le nombre f(x) ».

L’ensemble de définition regroupe toutes les valeurs de x pour lesquelles l’expression a un sens. Par exemple, pour r(x) = 1/(x - 2), x = 2 est interdit : le dénominateur deviendrait nul, ce qui correspondrait à une division par zéro. Avant tout calcul, repérer ces valeurs interdites évite de travailler sur un nombre qui ne peut pas être utilisé.

Pour consolider les substitutions et les restrictions de calcul, vous pouvez consulter les ressources du site consacrées au calcul littéral et aux fractions algébriques, si elles sont disponibles.

Lire correctement les notations f(x), x et y

Dans f(x) = 2x + 3, x est la valeur choisie et f(x) est son image. Si x = 4, alors f(4) = 11. On peut aussi écrire y = f(x) : y désigne alors l’image correspondant à x. Avec k : x ↦ x² - 1, k(3) = 8 signifie que l’image de 3 est 8.

Attention : f(x) ne veut pas dire « f multiplié par x ». C’est le nom d’un résultat dépendant de x. Erreur fréquente : écrire « x = f(x) » sans raison. Correction : distinguer la valeur de départ x et la valeur obtenue f(x), qui peuvent être différentes.

Calculer une image et chercher un antécédent

Calculer une image et rechercher un antécédent sont deux gestes inverses. Prenons la fonction affine g définie par g(x) = 3x - 5. La méthode commence toujours par l’identification de ce qui est connu et de ce qui est demandé.

Hypothèse : on cherche l’image de 4 par g. Calculs : g(4) = 3 × 4 - 5 = 12 - 5 = 7. Conclusion : l’image de 4 est 7.

Hypothèse : on cherche l’antécédent de 10. Calculs : on écrit g(x) = 10, donc 3x - 5 = 10, puis 3x = 15 et x = 5. Conclusion : 5 est l’antécédent de 10 par g. Une valeur peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents. Avec la fonction carré x ↦ x², le nombre -1 n’a aucun antécédent réel, car un carré est positif ou nul.

Les calculs donnent des résultats exacts ; une courbe apporte aussi des informations, mais ses lectures sont souvent approchées.

Lire une image et un antécédent sur une courbe

Pour lire l’image d’un nombre sur une courbe, partez de son abscisse sur l’axe horizontal, rejoignez la courbe, puis lisez l’ordonnée obtenue sur l’axe vertical. Pour chercher un antécédent, faites le trajet inverse : partez d’une ordonnée, allez jusqu’à la courbe puis redescendez vers l’axe des abscisses.

Une même horizontale peut couper la courbe en plusieurs points : l’image étudiée a alors plusieurs antécédents. Observez attentivement les graduations. Si la valeur ne tombe pas exactement sur une graduation, écrivez une approximation, par exemple x ≈ 1,5, plutôt qu’une égalité exacte.

Variations d’une fonction et tableau de variation

Une fonction est croissante sur un intervalle lorsque, pour deux nombres x₁ et x₂ de cet intervalle avec x₁ < x₂, on a f(x₁) ≤ f(x₂). Elle est décroissante lorsque l’ordre des images est inversé. Dire qu’« une courbe monte » peut guider l’observation, mais la formulation mathématique correcte est : « la fonction est croissante sur tel intervalle ».

Un tableau de variation résume cette évolution. La première ligne présente les valeurs de x dans l’ordre croissant. La ligne suivante indique les images et les flèches : une flèche montante traduit une croissance, une flèche descendante une décroissance. Les bornes et les éventuels minimums ou maximums doivent être lus ou calculés avec soin.

Entraînement : sur une courbe fournie, cherchez un intervalle où la fonction augmente, puis lisez l’image d’une borne si elle est indiquée nettement. Vérifiez que le sens de la flèche choisi correspond bien au déplacement de gauche à droite.

Méthode en quatre étapes pour dresser le tableau

1. Déterminez l’intervalle étudié et ses bornes.
2. Placez les valeurs de x dans l’ordre croissant, y compris les abscisses des changements de sens.
3. Repérez, sur le graphique ou grâce aux informations établies, les portions où la fonction augmente ou diminue.
4. Inscrivez les images remarquables, puis tracez les flèches adaptées.

Pour vérifier le tableau, lisez-le de gauche à droite : chaque flèche doit correspondre au comportement observé sur la courbe ou démontré par le calcul. Une valeur placée au mauvais endroit peut rendre tout le tableau incohérent.

Fonctions de référence : affine, carré, inverse et second degré

Les fonctions de référence sont des modèles utiles pour reconnaître rapidement une expression, une courbe et des précautions de calcul. Elles ne résument pas toutes les fonctions possibles. La fonction du second degré, de forme ax² + bx + c avec a non nul, est plus générale que la fonction carré : cette dernière correspond au cas particulier x².

Ces repères facilitent l’interprétation, mais une expression doit toujours être lue dans son détail avant de conclure.

Reconnaître une fonction de référence sans confondre les formes

Observez d’abord la place de x. Une expression de la forme ax + b est affine. Si x est au dénominateur, comme dans 1/x, il faut vérifier les valeurs qui annulent ce dénominateur. La présence de x² oriente vers une fonction du second degré lorsque l’expression peut s’écrire ax² + bx + c.

Deux contre-exemples évitent une confusion fréquente : x² + 4 n’est pas la fonction carré, car on a ajouté une constante ; 3x² est aussi différent de x², car les images sont multipliées par 3. Ces fonctions restent toutefois des fonctions du second degré.

Exemple corrigé : étudier une fonction, puis vérifier ses résultats

Étudions la fonction p définie par p(x) = x² - 2x - 3. Hypothèses : il s’agit d’une expression polynomiale, donc chaque nombre réel est autorisé. On demande des images et les antécédents de zéro.

Calculs : p(-1) = (-1)² - 2 × (-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0. Ensuite, p(2) = 2² - 2 × 2 - 3 = -3. Enfin, p(4) = 4² - 2 × 4 - 3 = 5. Pour résoudre p(x) = 0, on factorise : x² - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3). Ainsi, p(x) = 0 lorsque x = -1 ou x = 3.

Conclusion : -1 et 3 sont les antécédents de zéro. La courbe attendue est une parabole, car p est une fonction du second degré. Les résultats p(-1) = 0 et p(4) = 5 donnent des repères pour contrôler son tracé, sans remplacer une représentation graphique exacte.

Pour progresser, reprenez cette démarche sur des fonctions affines, des tableaux de valeurs puis des exercices de variations : identifier, calculer, interpréter et vérifier.

Stratégie de vérification avant de rendre un exercice

• Remplacez la solution trouvée dans l’expression initiale.
• Contrôlez les valeurs interdites, notamment les dénominateurs nuls.
• Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur du résultat.
• Comparez avec la courbe ou le tableau disponible.

Cette checklist aide à repérer une erreur de calcul, de signe ou de lecture. Elle ne remplace pas le raisonnement : une réponse juste doit rester accompagnée d’étapes compréhensibles et d’une conclusion formulée avec le vocabulaire adapté.

Pour étudier une fonction, commencez par repérer les valeurs autorisées de x, puis identifiez précisément la question posée : calculer une image ou rechercher un antécédent. Écrivez les substitutions avec des parenthèses et relisez le résultat dans son contexte. Un contrôle par la formule, le tableau ou le graphique permet ensuite de détecter de nombreuses erreurs de signe ou de lecture.

Quels sont les principaux types de fonctions étudiés en Seconde ?

On rencontre notamment les fonctions affines, la fonction carré, la fonction inverse et les fonctions du second degré. Elles servent de repères, mais le cours étudie aussi des fonctions données par un tableau, une courbe ou une expression qui ne correspond pas exactement à ces modèles.

Comment expliquer les fonctions en classe de troisième ?

On peut partir d’une machine de calcul : on choisit un nombre, la machine applique une règle et fournit un résultat. Le nombre choisi est l’antécédent et le résultat est son image. Un tableau, une formule ou une courbe décrivent la même relation.

Comment dresser un tableau de variation en Seconde ?

Commencez par écrire les valeurs de x dans l’ordre croissant. Repérez ensuite les portions où les images augmentent ou diminuent, puis notez les valeurs remarquables aux bornes et aux changements de sens. Terminez en contrôlant que chaque flèche correspond à la courbe ou aux résultats établis.

Comment calcule-t-on l’image d’un nombre par une fonction ?

Remplacez x par le nombre demandé dans l’expression, en ajoutant des parenthèses si le nombre est négatif. Effectuez ensuite les calculs dans l’ordre. Par exemple, si f(x) = 2x + 1, alors f(3) = 2 × 3 + 1 = 7.

Quelles sont les variations d’une fonction ?

Les variations décrivent l’évolution des images lorsque x augmente. Une fonction est croissante si ses images augmentent ou restent égales ; elle est décroissante si elles diminuent ou restent égales. Une fonction peut changer de sens de variation selon l’intervalle étudié.

Mise à jour : 25 juillet 2026