Les fonctions affines en seconde deviennent claires pas à pas

Une fonction affine est une fonction écrite sous la forme f(x) = ax + b, avec a et b fixes. Son graphique est une droite : a indique son sens de variation et son inclinaison, tandis que b correspond à l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire f(0).

Deux droites peuvent se croiser, être parallèles ou monter à des rythmes très différents, alors qu’elles proviennent toutes d’expressions courtes comme 3x − 2 ou −0,5x + 4. Pour les lire correctement, il faut relier trois représentations : une formule, un tableau de valeurs et un graphique. Ce cours sur les fonctions affines en seconde construit ce lien étape par étape. Les hypothèses seront distinguées des calculs, puis chaque résultat pourra être contrôlé afin de repérer une erreur de signe, de lecture ou de calcul.

Notion de fonction affine et vocabulaire essentiel

Une fonction transforme un nombre de départ en un nombre d’arrivée. Le nombre choisi est l’antécédent et le résultat obtenu est son image. En Seconde, une fonction affine s’écrit sous la forme f(x) = ax + b, où a et b sont deux nombres réels fixes. Son graphique est une droite. Le nombre a, appelé coefficient directeur, indique l’inclinaison de cette droite. Le nombre b, appelé ordonnée à l’origine, donne l’image de zéro : f(0) = b.

Il faut distinguer plusieurs écritures proches. Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine, pour lequel b vaut zéro. Une fonction constante correspond au cas où a vaut zéro.

Par exemple, 3x + 2 est affine, -5x est linéaire et 7 est une fonction constante. Le réflexe utile consiste à repérer un terme contenant x et un terme fixe.

Reconnaître une expression affine

Après développement et réduction, une expression affine doit pouvoir s’écrire ax + b : la lettre x n’apparaît qu’à la puissance 1. Ainsi, 4x - 7 est affine, avec a = 4 et b = -7. De même, -0,5x + 3 est affine. L’expression 6 convient aussi, car 6 = 0x + 6 : c’est une fonction constante. En revanche, x² + 1 n’est pas affine, car le carré de x reste présent. Pour vérifier, réduisez l’expression puis observez les puissances de x.

Calculer une image et retrouver un antécédent

Avant de commencer, il faut maîtriser les priorités de calcul, les nombres relatifs et la résolution d’une équation simple. Calculer g(3) signifie remplacer x par 3. Résoudre g(x) = 3 signifie chercher le nombre x dont l’image vaut 3 : ce ne sont donc pas les mêmes tâches.

Hypothèse : soit g(x) = -2x + 5. Pour calculer l’image de 3, on remplace x : g(3) = -2 × 3 + 5 = -6 + 5 = -1. La conclusion est que -1 est l’image de 3 par g.

Pour retrouver un antécédent, appliquez cette méthode :

1. Écrivez l’égalité correspondant à la valeur cherchée.
2. Développez et réduisez si l’expression le demande.
3. Isolez le terme contenant x, puis x lui-même.
4. Contrôlez la réponse dans l’expression initiale.

Calcul : cherchons l’antécédent de -3. On écrit -2x + 5 = -3, puis -2x = -8, donc x = 4. Conclusion : 4 est l’antécédent de -3. Une fonction affine non constante possède un unique antécédent pour toute valeur réelle. Pour une fonction constante, il faut comparer la valeur recherchée à la constante : il peut y avoir tous les réels ou aucun antécédent.

Méthode de vérification d’un antécédent

Hypothèse : la résolution de g(x) = -3, avec g(x) = -2x + 5, donne x = 4. Calcul de contrôle : on remplace 4 dans l’expression initiale : g(4) = -2 × 4 + 5 = -8 + 5 = -3. Conclusion : le résultat obtenu correspond bien à la valeur demandée. Ce remplacement est indispensable : il repère souvent une erreur de signe, une soustraction mal effectuée ou une division oubliée pendant la résolution.

Représentation graphique d’une fonction affine

Dans un repère, le graphique de f(x) = ax + b est la droite d’équation y = ax + b. L’expression permet donc de fabriquer des coordonnées. Le point A(0 ; b) appartient toujours à la droite, puisque f(0) = b : c’est le point situé sur l’axe des ordonnées.

Une première démarche consiste à choisir deux abscisses, à calculer leurs images, puis à placer les deux points correspondants. Par exemple, avec f(x) = -x + 3, les calculs donnent f(0) = 3 et f(3) = 0 : la droite passe par (0 ; 3) et (3 ; 0).

Une autre démarche part de A(0 ; b) et utilise le coefficient directeur. Si a = 2, un déplacement horizontal de 1 vers la droite correspond à une montée verticale de 2. Si a est négatif, la droite descend quand on la lit de gauche à droite. Avec un coefficient fractionnaire, on peut choisir un déplacement horizontal adapté pour éviter les coordonnées décimales.

Une droite ne se trace jamais avec un seul point : deux points distincts sont nécessaires. Enfin, une lecture sur dessin reste approximative ; un calcul dans l’expression fournit une valeur exacte. Pour contrôler le tracé, remplacez l’abscisse de chacun des points retenus dans y = ax + b.

Trouver l’expression à partir de deux points

Condition préalable : les points doivent avoir des abscisses différentes. Pour A(1 ; 4) et B(3 ; 0), le coefficient directeur vaut a = (yB - yA) / (xB - xA) = (0 - 4) / (3 - 1) = -4 / 2 = -2. On écrit ensuite y = -2x + b. Avec A, 4 = -2 × 1 + b, donc b = 6. L’expression est f(x) = -2x + 6. Vérifiez avec B : f(3) = -6 + 6 = 0.

Variation et signe d’une fonction affine

L’algèbre et le graphique racontent la même chose. Si le coefficient directeur a est positif, la droite monte lorsqu’on la lit de gauche à droite : la fonction est croissante. Si a est négatif, la droite descend : la fonction est décroissante. Si a vaut zéro, la droite est horizontale et la fonction est constante.

Pour étudier le signe d’une fonction affine non constante, on cherche d’abord son zéro, c’est-à-dire la valeur de x pour laquelle ax + b = 0. Comme a n’est pas nul, on obtient x = -b/a. Cette valeur coupe la droite réelle en deux intervalles. Sur chacun d’eux, le signe ne change pas, car la droite ne recoupe pas l’axe des abscisses.

Le coefficient directeur permet alors de raisonner. Si a est positif, la fonction est négative avant son zéro puis positive après. Si a est négatif, elle est positive avant son zéro puis négative après. Pour une fonction constante f(x) = b, le signe est identique pour tout réel : positif si b est positif, négatif si b est négatif, nul si b vaut zéro.

Cette méthode évite de mémoriser mécaniquement des signes : on part de l’équation, on trouve l’intersection avec l’axe, puis on relie le résultat au sens de la droite.

Interpréter le signe sur un graphique

Une fonction est positive lorsque sa droite se situe au-dessus de l’axe des abscisses : ses ordonnées sont alors positives. Elle est nulle au point où la droite coupe cet axe. Sous l’axe des abscisses, ses ordonnées sont négatives. Cette lecture donne une bonne intuition, mais un dessin peut être imprécis. Pour une réponse exacte, calculez l’intersection avec l’axe en résolvant ax + b = 0, puis déduisez les intervalles de signe.

Exemple complet : déterminer et vérifier une fonction affine

Hypothèses : une droite passe par P(-1 ; 6) et Q(3 ; -2). On cherche l’expression de la fonction affine h associée à cette droite.

Calculs : le coefficient directeur est a = (-2 - 6) / (3 - (-1)) = -8 / 4 = -2. L’expression a donc la forme h(x) = -2x + b. On utilise les coordonnées de P : 6 = -2 × (-1) + b. Ainsi, 6 = 2 + b, donc b = 4. On obtient h(x) = -2x + 4.

Vérification et conclusion : avec le second point, h(3) = -2 × 3 + 4 = -6 + 4 = -2. L’image trouvée est bien l’ordonnée de Q : l’expression est correcte. De plus, h(0) = 4, donc la droite passe par (0 ; 4). Pour trouver l’antécédent de 0, on résout -2x + 4 = 0, d’où x = 2. La droite coupe donc l’axe des abscisses en (2 ; 0).

La chaîne de travail à retenir est toujours la même : partir des coordonnées, déterminer l’expression, effectuer les calculs demandés, visualiser la droite et contrôler le résultat. Chaque étape confirme la précédente. Cette habitude rend les exercices plus sûrs, notamment lorsque des nombres négatifs interviennent.

Checklist avant de rendre un exercice

Relisez d’abord les signes dans le calcul du coefficient directeur, surtout lorsqu’une abscisse est négative. Contrôlez ensuite l’ordonnée à l’origine avec l’un des points connus. Testez l’expression obtenue avec l’autre point : les coordonnées doivent vérifier l’équation. Terminez par une vérification graphique cohérente. Un coefficient directeur négatif doit correspondre à une droite descendante lorsqu’on la regarde de gauche à droite. Si le dessin raconte l’inverse, reprenez les calculs.

Retenir une fonction affine, ce n’est pas mémoriser une droite isolée : c’est savoir passer de f(x) = ax + b à ses valeurs et à son graphique. Identifiez d’abord a et b, calculez quelques images, puis vérifiez que la droite obtenue respecte ces résultats. Reprenez ensuite l’exemple avec d’autres nombres pour consolider la méthode.

Les questions du moment

Quelles sont les fonctions affines ?

Les fonctions affines sont les fonctions qui peuvent s’écrire f(x) = ax + b, avec a et b réels fixes. Leur représentation graphique est une droite. Le coefficient a indique son inclinaison et b son ordonnée à l’origine, c’est-à-dire l’image de zéro.

Comment bien comprendre les fonctions affines ?

Reliez systématiquement trois éléments : l’expression f(x) = ax + b, les calculs d’images ou d’antécédents, et la droite dans un repère. Calculez quelques points, placez-les, puis vérifiez qu’ils satisfont l’expression. Cette circulation entre calcul et dessin consolide la compréhension.

Comment trouver une fonction affine à partir de deux points ?

Avec deux points d’abscisses différentes, calculez d’abord a = (yB - yA) / (xB - xA). Écrivez ensuite y = ax + b et remplacez x et y par les coordonnées d’un point pour trouver b. Vérifiez enfin l’expression avec le second point.

Comment savoir si une fonction est affine ou non ?

Développez et réduisez son expression. Elle est affine si elle peut prendre la forme ax + b, avec x seulement à la puissance 1. Une expression contenant x², un produit de deux termes avec x ou une racine de x n’est pas affine.

Mis à jour en juillet 2026