Les dérivées en Terminale deviennent une méthode à maîtriser
Par Soraya Kermadec
En Terminale, les dérivées permettent de mesurer la variation instantanée d’une fonction et de déterminer la pente de sa tangente. Pour étudier une fonction, on identifie son domaine, on calcule sa dérivée, on étudie son signe puis on en déduit les variations ou un éventuel extremum.
Une erreur de signe dans une dérivée peut inverser tout un tableau de variations, même lorsque les calculs suivants sont justes. Les dérivées demandent donc une démarche ordonnée plutôt qu’une mémorisation isolée de formules. Ce cours présente les prérequis utiles, le sens de la dérivée, les règles de calcul et leur emploi pour les variations, les tangentes et les optimisations simples. Chaque résultat doit être relié à la fonction étudiée et contrôlé par une vérification.
Comprendre ce qu’exprime une dérivée
La dérivée mesure une variation instantanée. Pour une fonction f, le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a : il indique si la courbe monte, descend ou semble horizontale à cet endroit. Il faut distinguer f, la fonction ; f(a), son image en a ; f’, la fonction dérivée ; et f'(a), un nombre. Avant tout calcul, déterminez l’ensemble de définition : une expression avec un dénominateur ou une racine peut exclure certaines valeurs. Les prérequis utiles sont la lecture d’un repère cartésien, le calcul algébrique, le développement, la factorisation et l’étude du signe d’un produit. Pour relier pente et droite, consultez aussi le cours sur les fonctions affines.
Calculer une fonction dérivée sans perdre le fil
Les formules de dérivation permettent de transformer une expression en fonction dérivée. Une constante dérive en 0, x dérive en 1, x² dérive en 2x, x³ en 3x² et, plus généralement, xⁿ dérive en n xⁿ⁻¹. Pour un polynôme, on dérive terme à terme ; un coefficient constant reste devant le terme dérivé. La somme des dérivées est la dérivée de la somme.
- Recopiez f(x) en gardant clairement les signes.
- Identifiez chaque terme et son coefficient.
- Appliquez la formule adaptée à chaque terme.
- Réduisez et simplifiez l’expression obtenue.
Attention à ne pas oublier le coefficient d’une puissance, ni à conserver une constante dans f'(x). Ne confondez pas f(x) et f'(x). Une révision de la factorisation et du calcul littéral aide ensuite à exploiter la dérivée.
Étudier les variations grâce au signe de f’
Une étude de variations suit une chaîne logique : indiquez le domaine, calculez f'(x), résolvez l’équation f'(x)=0, puis étudiez le signe de f' sur les intervalles obtenus. Si f'(x) est positive, f est croissante ; si elle est négative, f est décroissante. L’équation f'(x)=0 fournit des points à examiner, mais elle ne prouve pas seule l’existence d’un extremum. Il faut observer le signe de la dérivée avant et après la valeur concernée. Un passage de positif à négatif peut signaler un maximum local ; le passage inverse peut signaler un minimum local. Reportez ces informations dans un tableau de signes puis un tableau de variations. Enfin, réalisez un croquis : l’allure de la courbe doit correspondre aux phases de croissance et de décroissance annoncées.
Exemple guidé : dérivée, variations et tangente
| Étape | Raisonnement |
|---|---|
| Hypothèses | Soit f(x)=x³−3x+2. Cette fonction cubique est définie sur l’ensemble des réels. |
| Calculs | f'(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1). Le facteur 3 est positif. Ainsi, f' est positive sur ]−∞ ;−1[, négative sur ]−1 ;1[, puis positive sur ]1 ;+∞[. De plus, f(−1)=4 et f(1)=0. Pour la tangente en 0, f(0)=2 et f'(0)=−3 : son équation est y=−3x+2. |
| Conclusion | La fonction augmente, diminue, puis augmente. Elle possède donc un maximum local au point d’abscisse −1, d’image 4, et un minimum local au point d’abscisse 1, d’image 0. La tangente en 0 passe par le point de la courbe d’ordonnée 2 et descend avec une pente égale à −3. |
Vérifier son étude et préparer les exercices
Après un exercice, relisez chaque transition plutôt que le seul résultat final. Recalculez la dérivée terme à terme et développez une factorisation si le contrôle est rapide. Pour le tableau de signes, utilisez les règles de signe d’un produit ou choisissez une valeur test dans chaque intervalle. Vérifiez ensuite les images des points critiques et leur place dans le tableau de variations. Un croquis permet de détecter une courbe incohérente avec les signes obtenus.
Dans un problème d’optimisation, commencez par définir la grandeur à optimiser sous la forme d’une fonction. Traduisez les contraintes pour déterminer le domaine, dérivez, repérez les valeurs critiques et comparez les valeurs pertinentes, notamment aux bornes si elles existent. Terminez toujours par une phrase répondant au contexte. Pour progresser, entraînez-vous dans cet ordre : dériver une expression, étudier le signe, puis résoudre une situation concrète.
Pour travailler les dérivées, commencez toujours par écrire le domaine et la fonction avant de choisir une formule. Puis séparez nettement le calcul de la dérivée, l’étude de son signe et l’interprétation du tableau de variations. Reprenez un exemple en modifiant les coefficients : cette variation aide à vérifier que la méthode est comprise, au-delà de la seule récitation des règles.
Vos questions, nos réponses
Comment calculer la dérivée d’une fonction en Terminale ?
Identifiez les termes de l’expression, puis appliquez les formules de dérivation à chacun. Une constante dérive en 0 et xⁿ dérive en n xⁿ⁻¹. Gardez les coefficients, respectez les signes et simplifiez seulement après avoir dérivé tous les termes.
Comment savoir si une fonction est croissante ou décroissante avec sa dérivée ?
Étudiez le signe de f'(x) sur le domaine de la fonction. Si la dérivée est positive sur un intervalle, la fonction y est croissante. Si elle est négative, elle y est décroissante. Les valeurs où f' s’annule servent à découper les intervalles à analyser.
Comment trouver l’équation de la tangente à une courbe ?
Au point d’abscisse a, calculez d’abord f(a), puis f'(a). L’équation de la tangente est y=f'(a)(x−a)+f(a). Le nombre f'(a) donne sa pente, tandis que f(a) garantit que la droite passe par le point de la courbe.
Pourquoi faut-il étudier le signe de la dérivée ?
Le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction. Il permet donc de construire un tableau de variations, de repérer des maximums ou minimums locaux éventuels et de résoudre des questions d’optimisation. Résoudre f'(x)=0 ne suffit pas : le signe autour des solutions est décisif.
