Le théorème de Pythagore en 3ème se rédige avec méthode

Le théorème de Pythagore relie les longueurs des côtés d’un triangle rectangle : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. En 3ème, il sert à calculer une longueur ; sa réciproque et sa contraposée permettent de prouver qu’un triangle est rectangle ou non.

La difficulté consiste d’abord à reconnaître la situation géométrique, puis à choisir la propriété adaptée et à rédiger un raisonnement lisible.

Reconnaître la situation : triangle rectangle, hypoténuse et prérequis

Le théorème porte uniquement sur un triangle rectangle. Cherchez le petit carré qui marque l’angle droit : le côté opposé est l’hypoténuse, toujours le plus long côté. Vérifiez aussi que les longueurs sont exprimées dans la même unité.

Dans un triangle ABC rectangle en A, [BC] est l’hypoténuse ; [AB] et [AC] forment l’angle droit. Il faut savoir lire une figure, calculer un carré et utiliser une racine carrée.

Appliquer le théorème de Pythagore pour calculer une longueur

Dans un triangle ABC rectangle en A, l’hypoténuse est [BC]. Le théorème s’écrit : BC² = AB² + AC². Il permet de calculer une longueur lorsque le triangle est déjà déclaré rectangle.

1. Annoncez le triangle et son angle droit.
2. Écrivez l’égalité avec les lettres de la figure.
3. Remplacez les lettres par les longueurs connues.
4. Calculez, prenez la racine carrée si nécessaire, puis concluez avec l’unité.

Exemple : le triangle RST est rectangle en R, avec RS = 9 cm et RT = 12 cm. [ST] est l’hypoténuse. Conclusion : ST mesure 15 cm.

Pour chercher un côté de l’angle droit, isolez son carré : AB² = BC² − AC², puis prenez la racine carrée.

Démonstration géométrique : le théorème peut se prouver par une comparaison d’aires. On place quatre triangles rectangles identiques dans un grand carré. Selon leur disposition, l’aire restante forme soit un carré construit sur l’hypoténuse, soit deux carrés construits sur les autres côtés. Les quatre triangles ont la même aire dans les deux figures ; les aires restantes sont donc égales. Le carré de l’hypoténuse est ainsi égal à la somme des deux autres carrés.

Utiliser la réciproque et la contraposée de Pythagore

Le théorème calcule une longueur dans un triangle rectangle. La réciproque démontre qu’un triangle est rectangle à partir de ses trois longueurs. La contraposée démontre qu’il ne l’est pas.

Réciproque : dans le triangle DEF, DE = 7 cm, DF = 24 cm et EF = 25 cm. [EF] est le plus grand côté. Les résultats étant égaux, le triangle DEF est rectangle en D.

Contraposée : pour des côtés de 6 cm, 8 cm et 11 cm, le plus grand côté est 11 cm. Ces valeurs sont différentes : le triangle n’est pas rectangle.

Rédiger et vérifier un exercice de Pythagore en Troisième

Une bonne rédaction indique pourquoi la propriété est utilisable. Écrivez : « Dans le triangle …, rectangle en …, d’après le théorème de Pythagore, … », puis l’égalité, les calculs et la conclusion.

Évitez quatre erreurs : oublier l’angle droit, choisir une mauvaise hypoténuse, écrire une égalité sans carrés ou oublier l’unité. Contrôlez enfin que l’hypoténuse dépasse les autres côtés et remplacez les valeurs dans l’égalité.

S'entraîner avec des exercices progressifs de Pythagore

Avant de commencer, adoptez ces réflexes :

• relever les données et l’angle droit éventuel ;
• identifier le plus grand côté ;
• choisir entre théorème, réciproque ou contraposée ;
• vérifier l’égalité et l’unité.

Exercice A : le triangle KLM est rectangle en K. KL = 5 cm et KM = 12 cm. Calculez LM.

Correction : [LM] est l’hypoténuse. D’après le théorème de Pythagore, LM² = KL² + KM² = 5² + 12². Donc LM = √(5² + 12²). Conclusion : LM mesure cette longueur, supérieure à 12 cm.

Exercice B : le triangle NOP est rectangle en N. OP = 17 cm et NP = 8 cm. Calculez NO.

Correction : [OP] est l’hypoténuse. Conclusion : NO mesure 15 cm.

Exercice C : dans le triangle UVW, UV = 9 cm, UW = 40 cm et VW = 41 cm. Démontrez s’il est rectangle.

Correction : [VW] est le plus grand côté. UV² + UW² = 9² + 40² = 41² = VW². D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle UVW est rectangle en U.

Exercice D : dans le triangle GHI, GH = 10 cm, HI = 11 cm et GI = 15 cm. Déterminez s’il peut être rectangle.

Correction : [GI] est le plus grand côté. Les résultats sont différents. D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle GHI n’est pas rectangle.

Le bon diagnostic détermine l’outil : angle droit connu pour le théorème, égalité pour la réciproque, absence d’égalité pour la contraposée.

On vous répond

Quelle est la formule du théorème de Pythagore ?

Dans un triangle ABC rectangle en A : BC² = AB² + AC². [BC] est l’hypoténuse.

Comment rédiger la réciproque du théorème de Pythagore ?

Comparez le carré du plus grand côté à la somme des carrés des autres. S’ils sont égaux, concluez que le triangle est rectangle au sommet opposé au plus grand côté.

Quand utiliser la réciproque de Pythagore ?

Lorsque les trois longueurs sont connues et que l’on demande de démontrer qu’un triangle est rectangle.

Comment démontrer avec le théorème de Pythagore ?

Indiquez que le triangle est rectangle, identifiez l’hypoténuse, écrivez l’égalité adaptée, effectuez les calculs et concluez avec la longueur cherchée. Cette méthode explique comment démontrer dans un exercice avec le théorème, non comment prouver la propriété elle-même.

Comment bien rédiger le théorème de Pythagore ?

Indiquez le triangle, l’angle droit, l’égalité, les calculs et une conclusion avec l’unité.

Qu’est-ce que la contraposée de Pythagore ?

Elle démontre qu’un triangle n’est pas rectangle lorsque le carré du plus grand côté diffère de la somme des deux autres carrés.

Pour traiter un exercice, identifiez la demande : calculer une longueur, prouver qu’un triangle est rectangle ou montrer qu’il ne l’est pas. Écrivez ensuite l’égalité adaptée et contrôlez sa cohérence.