Le produit scalaire en première se calcule avec méthode

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel qui traduit leur orientation relative. En première, il se calcule avec les longueurs et le cosinus d’un angle ou, dans un repère, en additionnant les produits des coordonnées correspondantes ; son signe permet notamment de reconnaître l’orthogonalité.

Deux vecteurs peuvent avoir des longueurs non nulles et pourtant donner un produit scalaire égal à zéro : cela signifie qu’ils sont perpendiculaires. Cette situation surprend souvent lorsque l’on confond le produit scalaire avec un produit ordinaire ou avec un vecteur. Pour avancer sereinement, il faut relier le dessin, les coordonnées et les formules. Ce cours progressif aide à choisir une méthode de calcul, à détailler chaque étape et à contrôler la cohérence d’un résultat.

Définition et prérequis du produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel qui indique leur alignement et leur orientation relative. Pour des vecteurs non nuls u et v, on peut écrire u · v = ||u|| × ||v|| × cos(θ), où ||u|| et ||v|| sont leurs normes et θ l’angle compris entre eux. Le résultat n’est donc pas un vecteur : c’est un nombre, positif, nul ou négatif.

Avant de calculer un produit scalaire en Première, il faut savoir lire les coordonnées d’un vecteur, calculer sa norme et interpréter un angle. La norme correspond à la longueur du vecteur ; le cosinus permet de relier cette longueur à l’angle formé par les deux directions. Si l’un des vecteurs est nul, son produit scalaire avec tout vecteur vaut zéro. En revanche, on évite de parler d’angle entre un vecteur nul et un autre vecteur.

Cette interprétation donne déjà un moyen simple de contrôler un résultat : un calcul négatif ne peut pas correspondre à deux vecteurs dessinés dans des directions formant un angle aigu.

Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormé, si u(x ; y) et v(x’ ; y’), alors u · v = xx’ + yy’. Cette formule est particulièrement pratique : elle permet un calcul direct à partir des coordonnées, sans rechercher au préalable les longueurs ni l’angle. La condition « orthonormé » est essentielle, car les axes doivent utiliser la même unité et être perpendiculaires.

1. Relever les coordonnées des deux vecteurs.
2. Associer les composantes de même rang : abscisse avec abscisse, ordonnée avec ordonnée.
3. Effectuer les deux multiplications en conservant soigneusement les signes.
4. Additionner les résultats obtenus.

Si les vecteurs sont donnés directement, par exemple u(2 ; -3), on applique immédiatement la formule. Si l’énoncé donne des points A, B et C, il faut d’abord former les vecteurs : AB(xB − xA ; yB − yA) et AC(xC − xA ; yC − yA).

Les erreurs classiques viennent d’une soustraction faite dans un ordre différent pour chaque coordonnée, d’une parenthèse oubliée devant une valeur négative, ou de produits croisés tels que x × y’. Garder la même lettre d’origine dans les deux vecteurs évite souvent ces confusions.

Propriétés et test d’orthogonalité

Le produit scalaire possède des propriétés qui raccourcissent les calculs. Il est commutatif : u · v = v · u. Il est aussi distributif : u · (v + w) = u · v + u · w. Enfin, multiplier un vecteur par un nombre réel revient à multiplier le produit scalaire par ce même nombre : (ku) · v = k(u · v). Ces règles permettent de développer ou de factoriser une expression vectorielle sans revenir systématiquement aux coordonnées.

Le test d’orthogonalité est central : deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul. Dans un repère orthonormé, il suffit donc de vérifier que xx’ + yy’ vaut zéro. La réciproque compte autant que le sens direct : un résultat nul justifie la perpendicularité des directions.

Ce test sert notamment à démontrer qu’un triangle est rectangle : si AB · AC = 0, alors les côtés issus de A sont perpendiculaires et le triangle ABC est rectangle en A. Un vecteur normal à une droite est également un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de cette droite.

Attention : une figure peut suggérer un angle droit, mais elle ne le prouve pas. Une démonstration doit s’appuyer sur un produit scalaire nul, ou sur une autre propriété établie.

Utiliser le produit scalaire pour déterminer une longueur ou un angle

Pour déterminer l’angle θ entre deux vecteurs non nuls, on isole le cosinus : cos(θ) = (u · v) / (||u|| × ||v||). Cette formule s’emploie seulement lorsque les normes sont connues ou calculables. Elle donne une valeur cohérente avec le signe du produit scalaire : cosinus positif pour un angle aigu, négatif pour un angle obtus.

L’ordre de calcul le plus sûr consiste à trouver le produit scalaire, calculer les deux normes, former le quotient, puis vérifier qu’il appartient à l’intervalle allant de -1 à 1. On utilise ensuite la fonction arccos de la calculatrice, réglée dans l’unité demandée par l’énoncé. Un quotient hors de cet intervalle révèle une erreur de calcul ou de saisie.

Dans un triangle, le produit scalaire permet aussi de relier des longueurs. La relation AB · AC = (AB² + AC² − BC²) / 2 est une forme du théorème d’Al-Kashi. Elle devient utile lorsqu’une longueur manque, mais que les autres données sont accessibles.

Géométriquement, le produit scalaire traduit aussi une projection orthogonale : il mesure la part orientée d’un vecteur dans la direction de l’autre. Il ne représente donc pas seulement une distance.

Exemple corrigé : calculer AB · AC et vérifier le résultat

Hypothèses. Dans un repère orthonormé, on considère les points A(-1 ; 2), B(3 ; 5) et C(2 ; -2). On cherche le produit scalaire AB · AC, puis la nature du triangle ABC au sommet A.

Calculs. On commence par former les vecteurs en soustrayant les coordonnées de A à celles des points d’arrivée : AB(3 − (-1) ; 5 − 2), soit AB(4 ; 3). De même, AC(2 − (-1) ; -2 − 2), soit AC(3 ; -4). La formule par coordonnées donne alors : AB · AC = 4 × 3 + 3 × (-4) = 12 - 12 = 0.

Conclusion. Le produit scalaire est nul ; les vecteurs AB et AC sont donc orthogonaux. Les segments [AB] et [AC] sont perpendiculaires, donc le triangle ABC est rectangle en A.

Vérification. Refaire les soustractions depuis les coordonnées des points permet d’abord de contrôler les signes. Ensuite, AB² = 25 et AC² = 25. On trouve aussi BC² = 50 ; ainsi AB² + AC² = BC². Le théorème de Pythagore confirme le résultat. Pour vous entraîner seul, modifiez les coordonnées de B ou de C, refaites le calcul et vérifiez si le produit scalaire reste nul.

Pour maîtriser le produit scalaire, commencez par identifier les informations disponibles : coordonnées, longueurs ou angle. Écrivez ensuite la formule adaptée avant de remplacer les valeurs. Enfin, vérifiez le signe obtenu et sa cohérence avec la figure : nul pour des vecteurs perpendiculaires, positif pour un angle aigu et négatif pour un angle obtus.

Réponses à vos questions

Comment calculer le produit scalaire de AB et AC ?

Calculez d’abord les coordonnées des vecteurs AB et AC à partir des points : AB(xB − xA ; yB − yA) et AC(xC − xA ; yC − yA). Dans un repère orthonormé, multipliez les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles, puis additionnez les deux résultats.

Comment calculer l’angle avec un produit scalaire ?

Pour deux vecteurs non nuls, utilisez cos(θ) = (u · v) / (||u|| × ||v||). Calculez le quotient, vérifiez qu’il est compris entre -1 et 1, puis appliquez arccos avec la calculatrice dans l’unité demandée. Les normes des deux vecteurs doivent être connues ou calculables.

Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs ?

Dans un repère orthonormé, pour u(x ; y) et v(x’ ; y’), appliquez u · v = xx’ + yy’. Si vous connaissez plutôt les normes et l’angle, utilisez u · v = ||u|| × ||v|| × cos(θ). Le résultat obtenu est toujours un nombre réel, jamais un vecteur.

Quelle formule relie le produit scalaire, les normes et le cosinus ?

Pour deux vecteurs non nuls u et v formant un angle θ, la formule est u · v = ||u|| × ||v|| × cos(θ). Elle permet d’interpréter le signe du résultat : positif pour un angle aigu, nul pour un angle droit et négatif pour un angle obtus.

Dernière mise à jour : 25.07.2026