Le logarithme en Terminale devient clair avec la bonne méthode

Le logarithme naturel, noté ln, associe à tout nombre strictement positif l’exposant auquel élever e pour obtenir ce nombre. En Terminale, il sert à transformer des produits, quotients, puissances, équations et inéquations, à condition de contrôler systématiquement que chaque argument de ln est positif.

Résoudre ln(2x − 1) = 0 sans contrôler 2x − 1 peut conduire à accepter une valeur interdite. Le logarithme naturel demande donc une discipline précise : identifier le domaine, choisir la règle adaptée, effectuer les transformations algébriques puis vérifier le résultat obtenu. Ce cours progressif reprend les prérequis utiles, les propriétés de ln et les méthodes de résolution attendues pour manipuler les logarithmes avec davantage de sûreté.

Comprendre le logarithme naturel en Terminale

Ce cours vise à rendre les calculs avec le logarithme naturel plus sûrs : reconnaître le domaine de définition, appliquer les bonnes règles, résoudre puis contrôler une réponse. Avant de commencer, il faut maîtriser les puissances, la fonction exponentielle, les transformations algébriques et la lecture des intervalles. Le premier réflexe reste toujours le même : vérifier que l’expression placée dans un logarithme est strictement positive.

Le logarithme naturel, noté ln, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Le nombre e est une constante ; la fonction exponentielle associe à x le nombre e puissance x ; ln permet de retrouver l’exposant. Ainsi, ln(e puissance x)=x pour tout réel x. Réciproquement, e puissance ln(x)=x, mais seulement si x>0. Le logarithme naturel n’existe donc pas pour zéro ni pour un nombre négatif dans les réels.

Connaître les règles de calcul et leurs conditions

Les propriétés du logarithme naturel permettent de transformer certaines écritures, à condition de contrôler les arguments. Si a>0 et b>0, alors ln(ab)=ln(a)+ln(b). Avec les mêmes conditions, ln(a/b)=ln(a)-ln(b). Enfin, si a>0, ln(a puissance n)=n ln(a), lorsque la puissance est définie dans les réels. Par exemple, ln(12)-ln(3)=ln(12/3)=ln(4).

Avant chaque simplification, écrivez les conditions d’existence. Cette habitude évite notamment de manipuler un quotient nul ou négatif sans s’en apercevoir.

Résoudre une équation logarithmique pas à pas

Résolvons ln(x-1)+ln(x+1)=ln(8). La méthode consiste à séparer le domaine, les calculs et le contrôle final.

Hypothèses : il faut x-1>0 et x+1>0. La condition la plus restrictive est donc x>1.

Calculs : sur ce domaine, les deux arguments sont positifs, donc ln(x-1)+ln(x+1)=ln((x-1)(x+1)). L’équation devient ln(x carré-1)=ln(8). La fonction ln étant injective sur les réels strictement positifs, x carré-1=8, puis x carré=9. On obtient x=3 ou x=-3.

Conclusion : x=-3 est interdit car il ne vérifie pas x>1. La seule solution est x=3. Vérification : ln(3-1)+ln(3+1)=ln(2)+ln(4)=ln(8). Une équation algébrique intermédiaire peut donc fournir une valeur qui doit être écartée après retour au domaine initial.

Étudier le signe et les variations avec ln

La fonction logarithme naturel est croissante sur ]0 ; +∞[ et ln(1)=0. On en déduit immédiatement que ln(x)<0 si 0<x<1, que ln(x)=0 si x=1, et que ln(x)>0 si x>1.

Pour étudier le signe de ln(u(x)), procédez en deux temps : déterminez d’abord les x tels que u(x)>0, puis comparez u(x) à 1. Pour ln(2x-1), le domaine est x>1/2. L’expression s’annule lorsque 2x-1=1, soit x=1. Elle est négative sur ]1/2 ; 1[ et positive sur ]1 ; +∞[.

Cette démarche sert directement dans l’étude de fonctions. Un tableau de signes devient particulièrement utile lorsque ln(u(x)) est multiplié par un autre facteur : il permet de combiner les signes sans oublier les valeurs interdites.

Vérifier ses résultats et s’entraîner efficacement

Une réponse correcte avec ln ne dépend pas seulement du calcul final : elle doit aussi respecter le domaine et les règles utilisées.

• Contrôlez le domaine de définition dans l’énoncé initial : chaque argument de logarithme doit être strictement positif.
• Relisez les transformations : un produit peut devenir une somme de logarithmes, mais une somme ne se sépare pas.
• Remplacez la solution retenue dans l’égalité de départ. Une valeur approchée peut confirmer la cohérence, sans démontrer une égalité exacte.
• Entraînez-vous avec ln(5)+ln(2)-ln(10), puis avec ln(3x)=ln(12). Les résultats attendus sont respectivement 0 et x=4, avec la condition x>0 pour l’équation.

À force d’appliquer domaine, transformation et substitution, les automatismes s’installent. Pour prolonger ce travail, reliez le logarithme naturel à la fonction exponentielle, puis à la dérivation et à l’étude de fonctions : ces notions utilisent les mêmes réflexes de lecture, de signe et de vérification.

Pour travailler le logarithme en Terminale, commencez toujours par les conditions de définition : les arguments de ln doivent être strictement positifs. Ensuite, utilisez les propriétés seulement lorsqu’elles correspondent à la forme de l’expression. Terminez chaque exercice par une substitution dans l’énoncé initial. Cette vérification repère les valeurs interdites et consolide les automatismes de calcul, utiles pour le calcul des limites.

On répond à vos questions

Pourquoi ln(x) n’est-il défini que pour x strictement positif ?

ln(x) cherche le réel y tel que e puissance y=x. Or une exponentielle est toujours strictement positive : elle ne vaut jamais zéro et ne peut pas être négative. Il n’existe donc aucun réel y dont l’exponentielle donnerait un nombre négatif ou nul.

Comment résoudre une équation contenant plusieurs logarithmes naturels ?

Commencez par imposer la positivité de tous les arguments. Regroupez ensuite les logarithmes avec les règles du produit ou du quotient, lorsque leurs conditions sont vérifiées. Utilisez l’injectivité de ln pour supprimer les logarithmes, résolvez l’équation obtenue, puis testez chaque solution dans le domaine initial.

Pourquoi ln(a+b) n’est-il pas égal à ln(a)+ln(b) ?

La règle d’addition concerne un produit : ln(a)+ln(b)=ln(ab), pour a et b positifs. Une somme à l’intérieur d’un logarithme ne possède pas de transformation analogue. Par exemple, ln(2+2)=ln(4), tandis que ln(2)+ln(2)=ln(4) pour une raison liée au produit 2×2.

Comment déterminer le signe de ln(x) ?

Il faut d’abord avoir x>0. Comme ln est croissante et que ln(1)=0, ln(x) est négatif lorsque x est entre zéro et un. Il est nul pour x=1 et positif lorsque x est supérieur à un.

Dernière mise à jour : 25/07/2026