La proportionnalité au collège se reconnaît avant de se calculer
Par Gaspard Nivelle
La proportionnalité décrit deux grandeurs liées par un même multiplicateur, appelé coefficient de proportionnalité. Pour résoudre un exercice, il faut d’abord vérifier que ce coefficient reste identique, puis choisir une méthode adaptée : multiplication, retour à l’unité ou produit en croix.
La réponse dépend d’une condition précise : le prix d’un cahier doit rester le même. La proportionnalité ne consiste donc pas seulement à manipuler des nombres dans un tableau. Elle demande d’observer la relation entre deux grandeurs, de choisir un calcul cohérent et de contrôler le résultat obtenu. Cette méthode progressive aide à éviter les produits en croix utilisés trop vite.
Comprendre ce qu'est une situation de proportionnalité
Avant de chercher une valeur manquante, il faut répondre à une question essentielle : les deux grandeurs sont-elles proportionnelles ? Ce cours donne une méthode pour reconnaître la relation, choisir un calcul adapté et contrôler sa réponse. Les prérequis sont la multiplication, la division, les fractions simples et la lecture d’un tableau.
La définition de la proportionnalité est simple : deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu’on passe toujours de l’une à l’autre en multipliant par le même nombre. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité. Dans un tableau de proportionnalité, les valeurs d’une même colonne correspondent entre elles.
Par exemple, si des cahiers identiques ont tous le même prix, le prix total dépend du nombre de cahiers : doubler le nombre de cahiers double le prix. Mais la présence de deux nombres ne suffit jamais : il faut vérifier que le même multiplicateur fonctionne partout.
Reconnaître un tableau de proportionnalité sans se tromper
Pour reconnaître une proportionnalité, comparez des valeurs qui se trouvent dans la même colonne. Vous pouvez chercher le coefficient multiplicateur ou calculer le rapport entre la deuxième valeur et la première. Cette vérification suppose que les grandeurs correspondent bien colonne par colonne et que la valeur par laquelle on divise n’est pas nulle.
| Longueur de tissu | 2 m | 5 m |
|---|---|---|
| Longueur de ruban | 6 m | 15 m |
Ici, on multiplie toujours par 3 : 2 × 3 = 6 et 5 × 3 = 15. Le tableau est proportionnel.
| Nombre de jours | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| Pages lues | 4 | 8 | 12 |
Ce second tableau est aussi proportionnel. En revanche, si l’on ajoutait toujours la même quantité sans garder le même rapport, ce ne serait pas une preuve : « ajouter 3 » décrit une relation additive, pas multiplicative. Sur un graphique, des grandeurs proportionnelles sont représentées par une droite passant par l’origine.
Calculer une valeur manquante avec la méthode adaptée
Une valeur manquante ne se calcule qu’après avoir établi que le tableau est proportionnel. Écrivez les unités à chaque ligne : elles aident à repérer une inversion. Le produit en croix, parfois appelé règle de trois, est un outil de calcul ; il ne démontre pas à lui seul que la situation est proportionnelle.
- Utiliser le coefficient lorsque le passage est évident. Si 7 kg correspondent à 28 parts, le coefficient est 4 : pour 9 kg, on calcule 9 × 4 = 36 parts.
- Passer par l’unité lorsque connaître la valeur pour une unité rend la suite claire. On divise d’abord une quantité par le nombre correspondant, puis on multiplie par la quantité cherchée.
- Employer le produit en croix si les rapports sont bien écrits : quantité A / quantité B = quantité C / valeur cherchée. Isolez ensuite la valeur inconnue en respectant les unités.
Pour consolider ces écritures, une leçon sur les fractions est utile avant ce chapitre ; les pourcentages prolongent ensuite la même logique.
Exemple corrigé : préparer une boisson pour plusieurs personnes
Hypothèses. Une recette prévoit 450 mL de boisson pour 3 personnes. Les portions sont identiques et l’on cherche la quantité nécessaire pour 8 personnes. La quantité de boisson dépend donc proportionnellement du nombre de personnes : davantage de personnes demandent davantage de boisson.
Calculs. Le retour à l’unité est ici très lisible. Pour une personne : 450 mL ÷ 3 = 150 mL. Pour 8 personnes : 150 mL × 8 = 1 200 mL. Comme 1 000 mL correspondent à 1 L, 1 200 mL correspondent à 1,2 L.
Conclusion. Il faut préparer 1,2 L de boisson pour 8 personnes. Vérifions : 1 200 mL ÷ 8 = 150 mL par personne, soit la même portion qu’au départ. L’ordre de grandeur convient aussi : 8 est supérieur à 3, la quantité finale devait donc dépasser 450 mL.
Vérifier son résultat et s'entraîner efficacement
La vérification évite de valider un calcul juste en apparence. Après avoir trouvé une valeur, prenez quelques instants pour relire le tableau et contrôler la cohérence du résultat.
- Retrouvez le coefficient dans les deux sens : multiplication à l’aller, division au retour.
- Contrôlez les unités : des mètres ne deviennent pas des euros, et des millilitres ne deviennent pas directement des litres sans conversion.
- Estimez le sens de variation : si une grandeur augmente, l’autre doit augmenter dans une situation proportionnelle.
- Remplacez la valeur trouvée dans le tableau et vérifiez que le même rapport est conservé.
Entraînement. Quel est le prix de 12 mètres si le prix au mètre est constant ? Avant tout calcul, expliquez pourquoi la situation est proportionnelle, puis indiquez si vous choisissez le coefficient, le retour à l’unité ou le produit en croix.
La bonne habitude est donc de reconnaître d’abord la relation, puis de calculer. Rédigez vos opérations avec les unités et vérifiez l’ordre de grandeur. Si les divisions posent problème, reprenez les fractions ; si les situations parlent de réductions ou d’évolutions, poursuivez avec les pourcentages.
Pour travailler la proportionnalité au collège, commencez toujours par chercher le multiplicateur commun entre les deux lignes d’un tableau. Ensuite, choisissez le calcul le plus lisible et vérifiez que le résultat respecte la situation. Un prix, une distance ou une quantité doit évoluer de façon cohérente. Refaire le calcul dans l’autre sens permet souvent de repérer une erreur.
On vous répond
Comment savoir si un tableau est proportionnel ?
Comparez les valeurs de chaque colonne correspondante. Si l’on passe toujours de la première ligne à la seconde en multipliant par le même nombre, le tableau est proportionnel. Vous pouvez aussi vérifier que les rapports obtenus par division sont identiques, lorsque les valeurs utilisées ne sont pas nulles.
Quelle méthode choisir pour trouver une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité ?
Choisissez le coefficient lorsque le multiplicateur est facile à voir. Préférez le retour à l’unité si calculer la valeur pour une unité simplifie la suite. Utilisez le produit en croix lorsque les rapports sont clairement posés et que vous avez déjà vérifié la proportionnalité.
Pourquoi une augmentation de même quantité ne correspond-elle pas toujours à une proportionnalité ?
Ajouter toujours la même quantité décrit une relation additive. Or la proportionnalité exige un même multiplicateur. Par exemple, une suite peut augmenter régulièrement sans que le rapport entre deux valeurs correspondantes reste identique. Il faut donc chercher une multiplication constante, et non une addition répétée.
Comment vérifier un calcul de proportionnalité ?
Vérifiez d’abord les unités et le sens de variation attendu. Reprenez ensuite le calcul dans l’autre sens : divisez la valeur trouvée par la quantité correspondante pour retrouver la valeur unitaire ou le coefficient. Enfin, remplacez votre réponse dans le tableau pour contrôler le même rapport.
