La géométrie repérée en seconde se lit et se démontre pas à pas
La géométrie repérée en seconde permet de décrire des points et des figures à l’aide de coordonnées dans un repère. Elle sert notamment à placer un point, calculer les coordonnées d’un vecteur, déterminer un milieu et utiliser une distance lorsque le repère est orthonormé.
Par Soraya Kermadec
La géométrie repérée en seconde permet de décrire des points et des figures à l’aide de coordonnées dans un repère. Elle sert notamment à placer un point, calculer les coordonnées d’un vecteur, déterminer un milieu et utiliser une distance lorsque le repère est orthonormé.
Un point placé à droite de l’origine mais sous l’axe horizontal possède une abscisse positive et une ordonnée négative : ce détail suffit parfois à repérer une erreur de calcul. La géométrie repérée relie le dessin, les coordonnées et les raisonnements écrits. Pour progresser, il faut distinguer les hypothèses utiles, appliquer les formules dans le bon ordre, puis contrôler que le résultat correspond bien à la figure. Cette méthode rend les calculs plus lisibles et les démonstrations plus solides.
Lire un repère et placer des coordonnées
La géométrie repérée transforme une position sur un dessin en écriture numérique. Elle relie ainsi le repérage, étudié dès le collège, aux calculs de géométrie plane. L’objectif n’est pas d’appliquer une formule au hasard : il faut d’abord identifier ce que représentent les nombres, puis choisir l’outil adapté.
Réponse rapide : un point du repère du plan possède deux coordonnées. Son abscisse indique sa position sur l’axe horizontal et son ordonnée sa position sur l’axe vertical. Dans un repère orthonormé, les axes sont perpendiculaires et leurs graduations correspondent à la même unité de longueur.
Un repère comprend une origine O, un axe horizontal et un axe vertical gradués. Le point A(−2 ; 3) n’est pas « les nombres −2 et 3 » : A est le point, tandis que −2 et 3 sont ses coordonnées. Pour le placer, partez de l’origine, déplacez-vous d’abord horizontalement selon l’abscisse, puis verticalement selon l’ordonnée.
Un repère quelconque peut avoir des axes non perpendiculaires ou des unités différentes. Un repère orthogonal a des axes perpendiculaires. Seul le repère orthonormé permet d’employer directement la formule usuelle de distance.
Exprimer et calculer les coordonnées d’un vecteur
Un vecteur décrit un déplacement : il possède une direction, un sens et une longueur. Il ne se confond donc pas avec le segment qui le représente. Pour aller de A(xA ; yA) vers B(xB ; yB), on écrit vecteur AB = (xB − xA ; yB − yA). Il suffit de soustraire les coordonnées du départ à celles de l’arrivée.
Cette écriture se lit comme deux déplacements : un mouvement horizontal, puis un mouvement vertical. Attention à l’ordre : vecteur BA est l’opposé de vecteur AB. La relation de Chasles traduit aussi cette idée de trajet : vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC.
La longueur AB est un nombre positif ; le vecteur AB est un objet orienté. Deux vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y') sont colinéaires lorsque x × y' − y × x' = 0 : leurs directions sont alors parallèles, éventuellement de sens opposés. Ce test évite les divisions hasardeuses si une coordonnée est nulle. Le vecteur nul vérifie également ce critère.
Calculer une distance et déterminer un milieu
La distance AB mesure la longueur du segment [AB], alors que vecteur AB indique un déplacement. Dans un repère orthonormé, les écarts horizontal et vertical forment les côtés d’un triangle rectangle. Le théorème de Pythagore donne donc AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²). Cette formule ne doit pas être utilisée sans avoir vérifié la nature du repère.
Le milieu I de [AB] partage le segment en deux parties égales. Ses coordonnées sont les moyennes : I((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2).
| Objet | Notation | Question posée |
|---|---|---|
| Point | A(x ; y) | Où est-il placé ? |
| Vecteur | vecteur AB | Quel déplacement effectuer ? |
| Distance | AB | Quelle est la longueur ? |
| Milieu | I | Quel point est à égale distance des extrémités ? |
Résoudre un exemple complet de géométrie repérée
Hypothèses. Dans un repère orthonormé, on considère A(−2 ; 3), B(4 ; −1) et C(1 ; −3).
Calculs. vecteur AB = (4 − (−2) ; −1 − 3) = (6 ; −4). De même, vecteur AC = (1 − (−2) ; −3 − 3) = (3 ; −6). Pour l’alignement, on calcule 6 × (−6) − (−4) × 3 = −24. Ce résultat n’est pas nul.
Le milieu de [AB] est I((−2 + 4)/2 ; (3 + (−1))/2), soit I(1 ; 1). Enfin, AB = √(6² + (−4)²) = √52 = 2√13. La simplification est correcte car 52 = 4 × 13 et √4 = 2.
Conclusion. Les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires ; les points A, B et C ne sont donc pas alignés. Le milieu de [AB] est I(1 ; 1) et la distance AB vaut 2√13.
Vérifier ses résultats et s’entraîner efficacement
- Relisez les coordonnées en respectant l’ordre des points : départ puis arrivée pour un vecteur.
- Gardez les parenthèses dans les soustractions, surtout devant une coordonnée négative.
- Contrôlez qu’une distance est positive et que son résultat est cohérent avec le dessin.
- Replacez mentalement le milieu : il doit se situer entre les extrémités du segment.
- Comparez l’orientation des vecteurs au schéma avant de conclure à la colinéarité.
Pour progresser, commencez par lire et placer des points, puis enchaînez avec des exercices mêlant vecteurs, alignement, milieu et distance. La géométrie repérée relie constamment dessin et calcul : le schéma donne du sens aux résultats, tandis que les coordonnées permettent de démontrer avec précision. Pour consolider les prérequis, consultez les pages internes consacrées aux coordonnées au collège, au théorème de Pythagore et aux vecteurs en Première.
Pour travailler la géométrie repérée, commencez par identifier le type de repère et notez soigneusement les coordonnées dans l’ordre abscisse puis ordonnée. Séparez ensuite les données, les calculs et la conclusion. Un croquis, même simple, aide à vérifier les signes, les directions et la cohérence d’une distance ou d’un milieu. Reprenez chaque formule en l’associant à sa signification géométrique.
Qu’est-ce qu’un vecteur en seconde ?
Un vecteur représente un déplacement, indépendamment de son point de départ. Il est caractérisé par une direction, un sens et une longueur. Le vecteur AB décrit le déplacement qui permet d’aller de A vers B ; il ne désigne pas la longueur AB.
Comment introduire les vecteurs en seconde ?
Commencez par un déplacement concret sur un quadrillage : aller vers la droite et vers le haut. Ce trajet devient un vecteur. Ensuite, reliez le dessin aux coordonnées : la première indique le déplacement horizontal, la seconde le déplacement vertical.
Comment trouver les coordonnées d’un vecteur ?
Pour calculer les coordonnées du vecteur AB, soustrayez les coordonnées de A à celles de B : vecteur AB = (xB − xA ; yB − yA). Écrivez toujours le point d’arrivée en premier dans la soustraction, mais le point de départ dans le nom du vecteur.
Comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires ?
Pour u(x ; y) et v(x' ; y'), calculez x × y' − y × x'. Si le résultat est nul, les vecteurs sont colinéaires : ils ont des directions parallèles ou opposées. Cette méthode est fiable même lorsqu’une coordonnée vaut zéro.
Quelle formule permet de calculer la distance associée à un vecteur ?
On parle plutôt de longueur d’un vecteur ou de distance entre deux points. Dans un repère orthonormé, si vecteur AB = (x ; y), alors AB = √(x² + y²). Cette formule provient du théorème de Pythagore appliqué aux déplacements horizontal et vertical.
