La géométrie repérée en Première s’éclaire par les calculs

La géométrie repérée en Première traduit les figures du plan par des coordonnées, des vecteurs et des équations. Elle sert à démontrer un alignement, déterminer une droite, calculer une distance ou reconnaître un cercle, en reliant chaque calcul à une propriété géométrique.

Deux points peuvent sembler alignés sur un dessin et ne pas l’être après calcul : en géométrie repérée, la figure guide l’intuition, mais les coordonnées permettent de conclure avec rigueur. Cette partie des mathématiques relie le langage algébrique aux objets géométriques familiers du plan. Pour résoudre une question, il faut identifier les données, sélectionner la formule adaptée, détailler les calculs puis contrôler que le résultat correspond bien à la situation représentée.

Comprendre la géométrie repérée en Première

La géométrie repérée consiste à traduire les figures du plan par des coordonnées et des équations. Un point devient un couple, par exemple M(x ; y) ; un vecteur représente un déplacement ; une équation décrit tous les points qui vérifient une même condition. Ces outils relient donc calcul et dessin : on peut prouver un alignement, reconnaître une droite ou étudier une courbe. Les prérequis sont simples : lire des coordonnées, soustraire des coordonnées, développer une expression littérale et connaître la colinéarité de vecteurs. Dans un repère quelconque, les coordonnées permettent déjà de travailler sur les droites et les vecteurs. Dans un repère orthonormé, les axes ont la même unité et sont perpendiculaires : c’est l’hypothèse utile dès qu’une distance intervient. La méthode directrice reste la même : relever les données, choisir l’outil adapté, calculer proprement, puis vérifier par substitution ou par une interprétation géométrique.

Les équations de droites : vecteur directeur et vecteur normal

Une droite est déterminée par un point et une direction. Un vecteur directeur indique un déplacement parallèle à la droite ; si la droite admet l’équation cartésienne ax + by + c = 0, le vecteur n(a ; b) est, lui, normal à la droite, donc perpendiculaire à sa direction. Un vecteur directeur possible est alors d(-b ; a), car leur produit scalaire est nul. Pour obtenir l’équation d’une droite passant par A(xA ; yA) et de vecteur normal n(a ; b), écrire a(x − xA) + b(y − yA) = 0, développer puis réduire. Pour savoir si un point P appartient à la droite, remplacer x et y par ses coordonnées : le résultat doit être nul. Enfin, deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Attention à ne pas employer le vecteur directeur comme s’il était normal, et à toujours contrôler que le point de départ vérifie l’équation trouvée.

Méthode complète : déterminer une droite et vérifier le résultat

Hypothèses. Soient A(-2 ; 3) et B(4 ; -1), deux points distincts. Calculs. Le vecteur AB a pour coordonnées (4 − (-2) ; -1 − 3), soit AB(6 ; -4) : c’est un vecteur directeur de la droite (AB). On choisit un vecteur normal n(2 ; 3), car 2 × 6 + 3 × (-4) = 0. En utilisant A, l’équation s’écrit 2(x + 2) + 3(y − 3) = 0. Après développement, on obtient 2x + 3y − 5 = 0. Conclusion. La droite passant par A et B a pour équation 2x + 3y − 5 = 0. Vérification. Pour A, 2 × (-2) + 3 × 3 − 5 = 0 ; pour B, 2 × 4 + 3 × (-1) − 5 = 0. Le contrôle est complet : le produit scalaire entre direction et normale est nul, et les deux points connus annulent le membre de gauche. Tout point de cette droite possède cette propriété.

Les équations de cercles dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormé, le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r est l’ensemble des points M(x ; y) vérifiant (x − a)² + (y − b)² = r². Cette écriture vient directement de la distance : ΩM² = (x − a)² + (y − b)², et imposer ΩM = r revient à égaler ce carré à r². L’hypothèse orthonormée est essentielle, car elle autorise cette formule habituelle de distance. Dans l’autre sens, une équation développée peut parfois être réorganisée en complétant les carrés afin de retrouver le centre et le rayon. Par exemple, x² + y² − 4x + 6y + 4 = 0 devient (x − 2)² + (y + 3)² = 9 : le centre est Ω(2 ; -3). Pour vérifier la lecture, contrôler les signes dans les parenthèses puis tester un point candidat. Un cercle désigne le contour ; l’inégalité (x − a)² + (y − b)² ≤ r² décrit le disque fermé, intérieur compris.

Paraboles et fonctions polynômes du second degré : faire le lien

La géométrie repérée permet aussi de lire les courbes de fonctions. La représentation de f(x) = ax² + bx + c, avec a non nul, est une parabole : chacun de ses points M(x ; y) vérifie y = f(x). La forme canonique f(x) = a(x − α)² + β donne une lecture particulièrement directe : le sommet est S(α ; β). Si a est positif, la parabole est ouverte vers le haut et le sommet correspond à un minimum ; si a est négatif, elle est ouverte vers le bas et le sommet est un maximum. Par exemple, f(x) = -2(x − 1)² + 3 a pour sommet S(1 ; 3). Pour contrôler ce résultat, remplacer x par 1 : on obtient bien f(1) = 3. Face à un exercice, identifier d’abord l’objet demandé — droite, cercle ou parabole — puis noter les données, choisir l’équation appropriée et achever par un contrôle géométrique ou une substitution directe.

Retenez une démarche stable : relever les hypothèses, traduire la question avec des coordonnées ou des vecteurs, calculer soigneusement, puis vérifier le sens géométrique de la réponse. Un schéma propre et des calculs organisés limitent les erreurs de signe ou de formule. Entraînez-vous ensuite sur des alignements, des équations de droites et des problèmes de distances.

Comment déterminer une équation de droite en géométrie repérée ?

À partir de deux points distincts, calculez un vecteur directeur en soustrayant leurs coordonnées. Choisissez ensuite un vecteur normal perpendiculaire, puis utilisez un des points dans a(x − xA) + b(y − yA) = 0. Développez et vérifiez que les deux points satisfont l’équation.

Quelle est la différence entre un vecteur directeur et un vecteur normal ?

Un vecteur directeur est parallèle à la droite : il indique son orientation. Un vecteur normal est perpendiculaire à cette droite. Dans une équation cartésienne ax + by + c = 0, les coordonnées (a ; b) forment un vecteur normal, tandis que (-b ; a) peut servir de vecteur directeur.

Comment vérifier qu’un point appartient à une droite ?

Remplacez x et y dans l’équation cartésienne de la droite par les coordonnées du point. Si le membre de gauche vaut zéro, le point appartient à la droite. Sinon, il n’y appartient pas. Cette substitution est un contrôle rapide après avoir déterminé une équation.

Quelle est la formule de l’équation d’un cercle dans un repère orthonormé ?

Pour un cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r, l’équation est (x − a)² + (y − b)² = r². Elle exprime que tout point M(x ; y) du cercle est situé à la distance r du centre. L’égalité décrit uniquement le contour du cercle.

Contenu vérifié le 25/07/2026