La fonction exponentielle en terminale devient plus claire pas à pas

La fonction exponentielle associe à chaque réel x le nombre e^x, toujours strictement positif. En terminale, elle sert à étudier des variations grâce à sa dérivée, à résoudre des équations et inéquations, et à modéliser des phénomènes de croissance.

Une erreur de signe dans e^(a-b) peut transformer une équation très simple en calcul impossible. Pour éviter ce blocage, il faut distinguer les règles de calcul sur les exposants, le sens de variation de la fonction et les méthodes adaptées aux équations. La fonction exponentielle demande peu de prérequis avancés, mais elle exige une écriture rigoureuse. En avançant étape par étape, ses propriétés deviennent des outils fiables pour calculer, étudier une fonction et contrôler un résultat.

Comprendre la fonction exponentielle et ses prérequis

La fonction exponentielle se note exp(x) ou e^x : ces deux écritures désignent la même valeur. Le nombre e est une constante mathématique. Pour tout réel x, e^x est strictement positif : il n’existe donc aucune valeur de x donnant zéro ou un nombre négatif. La fonction vérifie e⁰ = 1 ; elle est aussi égale à sa dérivée, comme le rappelle la source Fonction exponentielle. Avant de commencer, il faut savoir manipuler les puissances, développer ou factoriser une expression simple et lire un tableau de signes. Attention : l’exponentielle n’est pas affine. Ajouter une quantité à l’exposant ne revient pas à ajouter cette quantité au résultat : cela produit une multiplication. Ainsi, e^a+b = e^ae^b. À retenir : e⁰ = 1 ; e^x > 0 ; une somme dans l’exposant devient un produit.

Appliquer les règles de calcul sans confondre les formules

Les propriétés de l’exponentielle servent à simplifier une expression, à condition de repérer d’abord sa structure. Lors d’un produit, on additionne les exposants : e^ae^b = e^a+b. Lors d’un quotient, on les soustrait : e^a/e^b = e^a-b. Une puissance se traite par (e^a)ⁿ = e^na, et e^-a = 1/e^a. Méthode : repérez la somme ou la différence, choisissez la formule liée à l’opération extérieure, puis simplifiez à la fin. Par exemple, e^3x-2 × e^2-x = e^2x. De même, e^4x/e^x = e^3x. Vigilance : e^a+b n’est pas e^a + e^b, et e^2x n’est pas 2e^x. Pour vous contrôler, développez mentalement e^2x en e^x × e^x.

Étudier les variations d'une fonction avec une exponentielle

Pour étudier les variations, commencez par déterminer l’ensemble de définition, puis dérivez la fonction. Si f(x) = e^u(x), la dérivée est f'(x) = u'(x)e^u(x) : u est la fonction intérieure, et u' sa dérivée. Le facteur exponentiel est toujours positif ; il ne modifie donc jamais le signe de f'. Le signe dépend uniquement de u'(x), ou du facteur non exponentiel après une factorisation. Construisez ensuite le tableau de variations : placez les valeurs où le signe peut changer, étudiez le signe de la dérivée, puis indiquez les intervalles de croissance et de décroissance. Par exemple, pour g(x) = e^3x-1, g'(x) = 3e^3x-1, donc g' est positif et g est croissante sur les réels. Comme repères graphiques, e^x se rapproche de zéro quand x diminue sans borne et augmente sans borne quand x augmente.

Résoudre une équation ou une inéquation exponentielle

L’exponentielle est strictement croissante : elle conserve l’ordre. Ainsi, e^a = e^b équivaut à a = b, et e^a < e^b équivaut à a < b. Utilisez cette propriété seulement lorsque les deux membres sont bien des puissances de e. Pour résoudre e^2x-1 = e^x+3, on égalise les exposants : 2x - 1 = x + 3, d’où x = 4. L’ensemble solution est donc {4}. En revanche, face à e^x > 5, on ne peut pas supprimer directement les exponentielles : le nombre 5 n’est pas écrit sous la forme e^…. Si le logarithme népérien est disponible, on écrit x > ln(5), car la croissance conserve le sens de l’inégalité. Vérifiez toujours ce sens et présentez explicitement l’ensemble solution.

Exemple corrigé : dériver, résoudre et vérifier

Soit f(x) = e^2x - 3e^x - 4, définie pour tout réel x. Pour résoudre f(x) = 0, posons X = e^x. Cette substitution est utile car X > 0 et e^2x = X². L’équation devient X² - 3X - 4 = 0, soit (X - 4)(X + 1) = 0. On obtient X = 4 ou X = -1. La seconde valeur est impossible puisque e^x est positif. Il reste e^x = 4, donc x = ln(4). Pour les variations, f'(x) = 2e^2x - 3e^x = e^x(2e^x - 3). Le signe de f' est celui de 2e^x - 3. Contrôle final : en remplaçant e^x par 4 dans f, on trouve 16 - 12 - 4 = 0. Checklist : positivité respectée, solution négative écartée, remplacement effectué.

Retenez trois repères : e^0 vaut 1, e^x est toujours positif et l’exponentielle est strictement croissante. Avant de résoudre un exercice, identifiez la forme de l’expression puis choisissez la propriété utile. Reprenez l’exemple en masquant les calculs, rédigez chaque étape et vérifiez que votre résultat respecte ces repères.