Angles alternes internes : reconnaître, calculer et démontrer
Les angles alternes internes se situent de part et d’autre de la sécante, entre les deux droites. Si les droites sont parallèles, ils ont la même mesure, et réciproquement : deux angles alternes internes de même mesure prouvent que les droites sont parallèles.
Par Gaspard Nivelle
Les angles alternes internes se situent de part et d’autre de la sécante, entre les deux droites. Si les droites sont parallèles, ils ont la même mesure, et réciproquement : deux angles alternes internes de même mesure prouvent que les droites sont parallèles.
Quand deux droites sont coupées par une sécante, huit angles apparaissent et leurs positions permettent de savoir s’ils sont égaux ou supplémentaires. Les angles alternes internes et les angles correspondants jouent un rôle central pour justifier un parallélisme ou calculer une mesure. Cet article apprend à reconnaître chaque type de paire sur une figure décrite en mots, à appliquer la propriété et sa réciproque, puis à rédiger une démonstration en trois temps. Un exemple entièrement calculé et un exercice corrigé servent d’appui.
Reconnaître les huit angles autour de la sécante
Deux droites (d) et (d’) coupées par une sécante (s) forment huit angles : quatre autour de chaque point d’intersection. Soit A le point où (s) coupe (d) et B le point où (s) coupe (d’). Imaginez (d) en haut, (d’) en bas et (s) qui les traverse. Autour de A, les angles sont A1 (en haut à gauche), A2 (en haut à droite), A3 (en bas à droite) et A4 (en bas à gauche). Autour de B, les angles B1, B2, B3 et B4 suivent la même disposition.
Trois familles de paires sont à connaître :
- les angles alternes-internes sont de part et d’autre de la sécante et situés entre les deux droites : A3 et B1, A4 et B2 ;
- les angles correspondants sont du même côté de la sécante, l’un entre les droites et l’autre à l’extérieur, à la même place par rapport à chaque droite : A1 et B1, A2 et B2, A3 et B3, A4 et B4 ;
- les angles alternes-externes sont de part et d’autre de la sécante et à l’extérieur des deux droites : A1 et B3, A2 et B4.
| Type de paire | Position par rapport à la sécante | Position par rapport aux droites |
|---|---|---|
| Alternes-internes | De part et d’autre | Entre les deux droites |
| Correspondants | Du même côté | L’un entre les droites, l’autre à l’extérieur |
| Alternes-externes | De part et d’autre | À l’extérieur des deux droites |
Cette lecture de figure demande de la méthode : l’article sur la géométrie au collège, une méthode progressive, montre comment s’y exercer étape par étape.
Appliquer la propriété, la réciproque et la contraposée
Propriété : si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes ont la même mesure. Il en va de même pour les angles correspondants.
Réciproque : si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes (ou correspondants) de même mesure, alors ces droites sont parallèles.
Contraposée : si les deux angles alternes-internes ont des mesures différentes, alors les droites ne sont pas parallèles.
Deux outils complètent la propriété. Les angles opposés par le sommet ont la même mesure. Deux angles adjacents formés par une droite et une sécante sont supplémentaires : leur somme vaut 180°. Grâce à eux, un seul angle connu suffit pour obtenir tous les autres autour d’un même point.
Exemple résolu : retrouver les sept angles à partir de 65°
Énoncé : (d) // (d’) sont coupées par (s) et l’angle A3 mesure 65°. Retrouvez les sept autres angles.
Hypothèses. (d) // (d’) et A3 = 65°.
Calculs.
- A1 = A3 = 65°, car ces angles sont opposés par le sommet.
- A2 = 180° - 65° = 115°, car A2 et A3 sont adjacents et supplémentaires.
- A4 = A2 = 115°, car ces angles sont opposés par le sommet.
- B1 = A3 = 65°, car ce sont des angles alternes-internes et les droites sont parallèles.
- B2 = A4 = 115°, pour la même raison (alternes-internes).
- B3 = B1 = 65° et B4 = B2 = 115°, car ces angles sont opposés par le sommet.
Conclusion. Quatre angles mesurent 65° (A1, A3, B1, B3) et quatre mesurent 115° (A2, A4, B2, B4). Contrôle : 65° + 115° = 180°, et 4 × 65° + 4 × 115° = 260° + 460° = 720°, soit deux tours complets, comme attendu pour deux points d’intersection.
Pour la rédaction, l’article sur la façon de rédiger une démonstration mathématique solide détaille la démarche. Voici la preuve que B1 = 65°, en trois temps :
- On sait que (d) // (d’) et que A3 = 65°.
- Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes ont la même mesure, et A3 et B1 sont alternes-internes.
- Donc B1 = A3 = 65°.
Exercice sur la réciproque : 72° et 72°, puis 72° et 74°
Énoncé : deux droites (d) et (d’) sont coupées par une sécante (s). Dans chaque cas, les mesures de deux angles alternes-internes sont données. Peut-on affirmer que (d) et (d’) sont parallèles ?
Cas 1 : 72° et 72°. On sait que les deux angles alternes-internes mesurent 72°. Or, si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces droites sont parallèles. Donc (d) // (d’).
Cas 2 : 72° et 74°. On sait que les deux angles alternes-internes mesurent 72° et 74°, et 72° ≠ 74° (l’écart est de 74° - 72° = 2°). Or, si deux angles alternes-internes ont des mesures différentes, les droites ne sont pas parallèles. Donc (d) et (d’) ne sont pas parallèles, même si le dessin les fait paraître presque parallèles.
Cet exercice convient à des élèves de collège. Pour tracer des figures soignées avant de raisonner, l’article sur la géométrie en 6e pas à pas propose une progression simple.
Questions et réponses
Quelle différence y a-t-il entre angles alternes-internes et correspondants ?
Les alternes-internes sont de part et d’autre de la sécante, entre les deux droites. Les correspondants sont du même côté de la sécante, l’un entre les droites et l’autre à l’extérieur, à la même place par rapport à chaque droite. Dans les deux cas, ils sont égaux si les droites sont parallèles.
Les angles alternes internes sont-ils toujours égaux ?
Non, ils ne le sont que si les droites sont parallèles. Si les droites ne sont pas parallèles, les deux angles ont des mesures différentes, et c’est précisément ce qui permet de prouver que les droites ne sont pas parallèles.
Comment prouver que deux droites sont parallèles avec des angles ?
Montrez que deux angles alternes-internes (ou correspondants) ont la même mesure, en justifiant chaque mesure. Appliquez ensuite la réciproque : si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure, alors ces droites sont parallèles.
Peut-on utiliser la propriété si l’énoncé ne dit pas que les droites sont parallèles ?
Non. Le parallélisme doit être une donnée de l’énoncé ou avoir été démontré auparavant. Sur un dessin, des droites qui semblent parallèles ne suffisent pas : seule une information écrite ou une preuve compte pour justifier l’égalité des angles.
Comment retrouver les huit angles à partir d’un seul ?
Autour d’un même point, les angles opposés par le sommet sont égaux et les angles adjacents ont une somme de 180°. Ensuite, le parallélisme transporte la mesure sur l’autre point d’intersection. Vous obtenez ainsi des angles de x° ou de 180° - x°.
Pour vous entraîner, tracez deux droites et une sécante, mesurez un angle, calculez les sept autres en justifiant chaque ligne, puis refaites l’exercice avec des droites non parallèles. Les bases du tracé soigné se trouvent dans la géométrie en 6e pas à pas, utile avant de raisonner sur les angles.
Page actualisée le 3 novembre 2026
